• Supposons α et β complexes et non réels. Appelons α la racine de partie imaginaire positive : α = r + iω et ω > 0. On a r = Re α = − p/2
et les solutions de ( * ) sont les fonctions
s(x) = e
−( p/2)x (λ cos ωx + µ sin ωx) , où λ,µ ∈ R.
Si p > 0, alors on a − p/2 < 0, donc lim
x→+∞
e
−( p/2)x = 0 . Comme la
fonction x → λ cos ωx + µ sin ωx est bornée, cela implique
lim
x→+∞
s(x) = 0.
Réciproquement, si toutes les solutions de ( * ) tendent vers 0 en +∞,
alors en particulier lim
x→+∞
e
−( p/2)x
cos ωx = 0 . Considérons la suite (x n )
définie par x n =
2πn
ω , de sorte que cos (ωx n ) = 1 pour tout n. Puisque
ω > 0, on a lim
n→+∞
x n = +∞ et donc lim
n→+∞
e
−( p/2)x n cos (ωx n ) =
lim
n→+∞
e
−( p/2)x n = 0 . On a e
−( p/2)x n = e
− pπn
ω
=
e
− pπ
ω
n
, donc la suite
de terme général e
−( p/2)x n est géométrique de raison e
− pπ
ω . Comme elle
a pour limite 0, on en déduit e
− pπ
ω < 1 , donc
− pπ
ω < 0, donc p > 0.
Cela montre que toutes les solutions de ( * ) tendent vers 0 en +∞ si et
seulement si p > 0 . Puisqu’on a q > 0 d’après (b), cette condition
équivaut à ( p > 0 et q > 0 ).
202
Chapitre 9 • Équations différentielles
9782100545636-Liret-C09.qxd 31/03/10 10:50 Page 202