Il s’ensuit que le système (1) a une unique solution (λ,µ) ∈ R × R. Il
existe donc une unique solution de ( * ) telle que s(x 0 ) = a 0 et
s(x 1 ) = a 1 .
Remarque : si l’on omet l’hypothèse que les racines du polynôme caractéristique sont des nombres réels distincts, ce résultat n’est plus vrai.
Montrons par exemple que pour l’équation y
+ y = 0, il n’existe pas de solution réelle s telle que s(0) = 0 et s(π) = 1.
En effet, une telle fonction serait de la forme s(x) = λ cos x + µ sin x et les
conditions imposent 0 = s(0) = λ et 1 = s(π) = −λ , ce qui est impossible.
9.8 a) Supposons α < 0 et β < 0. Alors on a − p = α + β < 0 et
q = αβ > 0, donc p > 0 et q > 0. Réciproquement, supposons p > 0
et q > 0. Alors les racines de P ont même signe car leur produit q est
positif ; ce signe est celui de leur somme − p < 0, donc les racines sont
négatives.
b) Posons r = Re α. Alors par hypothèse, les racines de P sont
α = r + iω et β = ¯
α = r − iω, où ω ∈ R
∗
. Leur produit est
q = αβ = |α|
2 = r
2 + ω
2 > 0, car ω = / 0. On a − p = α + ¯
α =
2r = 2 Re α, d’où l’équivalence ( p > 0 ⇐⇒ Re α < 0 ) .
c) • Supposons α et β réels et α = / β. Alors les solutions réelles de ( * )
sont les fonctions s(x) = λ e
αx + µ e
βx
, où λ,µ ∈ R.
Si α < 0 et β < 0, alors e
αx
et e
βx
tendent vers 0 quand x tend vers +∞,
donc lim
x→+∞
s(x) = 0.
Réciproquement, si toutes les solutions tendent vers 0 en +∞, alors en
particulier, les solutions x → e
αx
et x → e
βx
tendent vers 0 en +∞, ce
qui implique α < 0 et β < 0.
D’après (a), on en déduit que toutes les solutions de ( * ) tendent vers 0 en
+∞ si et seulement si p > 0 et q > 0.
• Supposons α = β. Alors les solutions réelles de ( * ) sont les fonctions
s(x) = λ e
αx + µx e
αx
, où λ,µ ∈ R.
Si α < 0, alors lim
x→+∞
e
αx = lim
x→+∞
x e
αx = 0, donc lim
x→+∞
s(x) = 0.
Réciproquement, si toutes les solutions de ( * ) tendent vers 0 en +∞,
alors en particulier, la solution x → e
αx
(obtenue en prenant λ = 1 et
µ = 0) tend vers 0 en +∞, ce qui implique α < 0.
D’après (a), on en déduit que toutes les solutions de ( * ) tendent vers 0 en
+∞ si et seulement si p > 0 et q > 0.
Solutions
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existe donc une unique solution de ( * ) telle que s(x 0 ) = a 0 et
s(x 1 ) = a 1 .
Remarque : si l’on omet l’hypothèse que les racines du polynôme caractéristique sont des nombres réels distincts, ce résultat n’est plus vrai.
Montrons par exemple que pour l’équation y
+ y = 0, il n’existe pas de solution réelle s telle que s(0) = 0 et s(π) = 1.
En effet, une telle fonction serait de la forme s(x) = λ cos x + µ sin x et les
conditions imposent 0 = s(0) = λ et 1 = s(π) = −λ , ce qui est impossible.
9.8 a) Supposons α < 0 et β < 0. Alors on a − p = α + β < 0 et
q = αβ > 0, donc p > 0 et q > 0. Réciproquement, supposons p > 0
et q > 0. Alors les racines de P ont même signe car leur produit q est
positif ; ce signe est celui de leur somme − p < 0, donc les racines sont
négatives.
b) Posons r = Re α. Alors par hypothèse, les racines de P sont
α = r + iω et β = ¯
α = r − iω, où ω ∈ R
∗
. Leur produit est
q = αβ = |α|
2 = r
2 + ω
2 > 0, car ω = / 0. On a − p = α + ¯
α =
2r = 2 Re α, d’où l’équivalence ( p > 0 ⇐⇒ Re α < 0 ) .
c) • Supposons α et β réels et α = / β. Alors les solutions réelles de ( * )
sont les fonctions s(x) = λ e
αx + µ e
βx
, où λ,µ ∈ R.
Si α < 0 et β < 0, alors e
αx
et e
βx
tendent vers 0 quand x tend vers +∞,
donc lim
x→+∞
s(x) = 0.
Réciproquement, si toutes les solutions tendent vers 0 en +∞, alors en
particulier, les solutions x → e
αx
et x → e
βx
tendent vers 0 en +∞, ce
qui implique α < 0 et β < 0.
D’après (a), on en déduit que toutes les solutions de ( * ) tendent vers 0 en
+∞ si et seulement si p > 0 et q > 0.
• Supposons α = β. Alors les solutions réelles de ( * ) sont les fonctions
s(x) = λ e
αx + µx e
αx
, où λ,µ ∈ R.
Si α < 0, alors lim
x→+∞
e
αx = lim
x→+∞
x e
αx = 0, donc lim
x→+∞
s(x) = 0.
Réciproquement, si toutes les solutions de ( * ) tendent vers 0 en +∞,
alors en particulier, la solution x → e
αx
(obtenue en prenant λ = 1 et
µ = 0) tend vers 0 en +∞, ce qui implique α < 0.
D’après (a), on en déduit que toutes les solutions de ( * ) tendent vers 0 en
+∞ si et seulement si p > 0 et q > 0.
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