Solution particulière de y
− 4y
+ 4y =
1
2 e
−2x
. Puisque −2 n’est pas
racine du polynôme caractéristique, cherchons k ∈ R pour que la fonction s 2 (x) = k e
−2x
soit solution. On a
s
2 (x) − 4s
2 (x) + 4s 2 (x) =
4k − 4(−2k) + 4k
e
−2k =
1
2
e
−2x ,
d’où k =
1
32 et s 2 (x) =
1
32 e
−2x
.
Résolution. Les solutions de l’équation homogène y
− 4y
+ 4y = 0
sont les fonctions x → (λ + µx)e
2x
.
Une solution particulière de l’équation avec second membre sh 2x est
s 1 (x) + s 2 (x) =
x 2
4 e
2x +
1
32 e
−2x
. Les solutions de l’équation sont
donc les fonctions
x → (λ + µx) e
2x +
x
2
4
e
2x −
1
32
e
−2x , où λ,µ ∈ R.
9.7 Soit α et β les racines du polynôme caractéristique. Par hypothèse,
α et β sont des nombres réels différents. Les solutions réelles de ( * ) sont
donc les fonctions s(x) = λe
αx + µ e
βx
, où λ,µ ∈ R.
Les égalités s(x 0 ) = a 0 et s(x 1 ) = a 1 s’écrivent
λe
αx 0 + µ e
βx 0 = a 0
λe
αx 1 + µ e
βx 1 = a 1
(1)
C’est un système d’équations linéaires aux inconnues λ et µ. Le déterminant est
D =
e
αx 0 e
βx 0
e
αx 1 e
βx 1
= e
αx 0 e
βx 1 − e
βx 0 e
αx 1 = e
αx 0 +βx 1 − e
βx 0 +αx 1
On a
(αx 0 + βx 1 ) − (βx 0 + αx 1 ) = (α − β)x 0 − (α − β)x 1
= (α − β)(x 0 − x 1 ) = / 0
car α = / β et x 0 = / x 1 . Ainsi, les deux nombres réels αx 0 + βx 1 et
βx 0 + αx 1 sont différents. On en déduit e
αx 0 +βx 1 = / e
βx 0 +αx 1 et par suite
D = / 0.
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Chapitre 9 • Équations différentielles
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