Solution particulière de y
+ y =
1
2 . La fonction constante s 1 (x) =
1
2
est évidemment solution de cette équation.
Solution particulière de y
+ y =
1
4 e
2ix
. Puisque 2i n’est pas racine du
polynôme caractéristique, cherchons cette solution sous la forme
s 2 (x) = k e
2ix
, où k ∈ C. En écrivant que l’on a s
2 (x) + s 2 (x) =
1
4 e
2ix
pour tout x, on obtient k = −
1
12 , donc s 2 (x) = −
1
12 e
2ix
.
Solution particulière de y
+ y =
1
4 e
−2ix
. En procédant de même, on
trouve que la fonction s 3 (x) = −
1
12 e
−2ix
est solution de cette équation.
Résolution. Une solution particulière de l’équation y
+ y = (cos x)
2
est donc la fonction définie par
s 1 (x) + s 2 (x) + s 3 (x) =
1
2
−
1
12
e
2ix −
1
12
e
−2ix =
1
2
−
1
6
cos 2x
Puisque les solutions de l’équation homogène y
+ y = 0 sont les
fonctions x → λ cos x + µ sin x, les solutions de l’équation y
+ y
= (cos x)
2
sont les fonctions
x → λ cos x + µ sin x +
1
2
−
1
6
cos 2x .
Chaque solution est une somme de fonctions ayant pour période 2π : les
solutions ont donc pour période 2π.
b) Le polynôme caractéristique est X
2 − 4X + 4 = (X − 2)
2
. Puisque
sh 2x =
1
2 e
2x −
1
2 e
−2x
, cherchons une solution particulière en utilisant
le principe de superposition.
Solution particulière de y
− 4y
+ 4y =
1
2 e
2x
. Puisque 2 est racine
double du polynôme caractéristique, on cherche une telle solution sous
la forme s 1 (x) = kx
2
e
2x
, où k ∈ R. On a
s
1 (x) = k(2x + 2x
2 )e
2x
et s
1 (x) = k(2 + 8x + 4x
2 )e
2x , d’où
s
1 (x) − 4s
1 (x) + 4s 1 (x) =
k
(2 + 8x + 4x
2 ) − 4(2x + 2x
2 ) + 4x
2
e
2x = 2k e
2x
Il vient 2k =
1
2 et s 1 (x) =
x 2
4 e
2x
.
Solutions
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