Solution particulière de y
+ 2y
+ 2y = −
1
2i e
−ix
. De même, −i
n’étant pas racine du polynôme caractéristique, on cherche une telle
solution sous la forme s 2 (x) = k e
−ix
, où k ∈ C. On trouve k =
i−2
10 ,
donc
s 2 (x) =
i − 2
10
e
−ix .
Résolution. La fonction s 1 + s 2 est solution de y
+ 2y
+ 2y = sin x.
On a
s 1 (x) + s 2 (x) = −
i
10
e
ix − e
−ix
−
1
5
e
ix + e
−ix
= −
i
10
2i sin x
−
1
5
2 cos x
=
1
5
sin x −
2
5
cos x
Ainsi les solutions de y
+ 2y
+ 2y = sin x sont les fonctions
s(x) = e
−x
λ cos x + µ sin x
+
1
5
sin x −
2
5
cos x , où λ,µ ∈ R.
b) La fonction u : R → R définie par u(x) =
1
5 sin x −
2
5 cos x est une
solution qui a pour période 2π. Supposons que λ et µ sont tels que la
solution s a pour période 2π. Alors la fonction s − u a aussi pour période
2π. 0n a
(s − u)(x) = e
−x
λ cos x + µ sin x
, pour tout x ∈ R.
Puisque (s − u)(0) = λ et (s − u)(2π) = e
−2π λ, il vient λ = e
−2π λ,
ce qui implique λ = 0 car e
−2π = / 1. De même, l’égalité
(s − u)(π/2) = (s − u)(2π + π/2) conduit à µ = 0 et finalement, on a
s − u = 0. La seule solution ayant pour période 2π est donc la fonction u.
9.6 a) Le polynôme caractéristique X
2 + 1 a pour racines i et −i.
Puisque
(cos x)
2 =
1
2
+
1
2
cos 2x =
1
2
+
1
4
e
2ix +
1
4
e
−2ix ,
utilisons le principe de superposition pour calculer une solution particulière de l’équation.
198
Chapitre 9 • Équations différentielles
9782100545636-Liret-C09.qxd 31/03/10 10:50 Page 198