b(x) = 1 −
1
ln x
, pour tout x > 0.
La seule équation différentielle linéaire du premier ordre ayant pour
solutions les fonctions s λ est donc l’équation
y
=
y
x ln x
+ 1 −
1
ln x
.
( * )
Réciproquement, les solutions de ( * ) sont bien les fonctions s λ .
9.4 Puisque s est solution de y
+ py
+ qy = 0, on a s
= − ps
− qs.
Les fonctions s et s
étant dérivables, la fonction − ps
− qs est dérivable. On en déduit que s
est dérivable, autrement dit s
est deux fois dérivable.
Posons u = s
. Alors on a
u
+ pu
+ qu = (s
+ ps
+ qs)
= 0
donc la fonction u est solution de l’équation y
+ py
+ qy = 0.
9.5 a) Le polynôme caractéristique est X
2 + 2X + 2 , ses racines sont
−1 + i et −1 − i. Les solutions de l’équation homogène sont donc les
fonctions
x → e
−x
λ cos x + µ sin x
, où λ, µ ∈ R.
Puisque sin x =
1
2i e ix −
1
2i e
−ix
, utilisons le principe de superposition
pour chercher une solution particulière.
Solution particulière de y
+ 2y
+ 2y =
1
2i e ix .
Puisque i n’est pas racine du polynôme caractéristique, on cherche une
telle solution sous la forme s 1 (x) = k e ix , où k ∈ C. Il vient
s
1 (x) = ki e ix , s
1 (x) = −k e ix et
s
1 (x) + 2s
1 (x) + 2s 1 (x) = (−k + 2ik + 2k) e
ix = k(1 + 2i) e
ix
On prend donc k =
1
1 + 2i
1
2i
=
1 − 2i
5
−i
2
=
−i − 2
10
, d’où
s 1 (x) =
−i − 2
10
e
ix .
Solutions
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