c
(x) = sin x cos x =
1
2
sin 2x et c(x) = −
1
4
cos 2x .
Ainsi la fonction s 0 (x) = −
1
4
cos 2x
cos x
est solution.
Les solutions de l’équation sont les fonctions s : I → R définies par
s(x) =
λ
cos x
−
1
4
cos 2x
cos x
, où λ ∈ R.
Puisque la fonction cosinus est paire, toutes ces solutions sont des fonctions paires sur l’intervalle I.
b) On a s(x) =
4λ − cos 2x
4 cos x
pour tout x ∈ ] − π/2,π/2[. Quand x tend
vers π/2, le dénominateur tend vers 0 et le numérateur vers 4λ + 1.
Pour que s(x) ait une limite finie quand x tend vers π/2, il faut donc que
l’on ait 4λ + 1 = 0, c’est-à-dire λ = −1/4. Réciproquement, si
λ = −1/4, alors 4λ − cos 2x = −
1 + cos 2x
= −2(cos x)
2
et l’on a
lim
x→π/2
s(x) = lim
x→π/2
−2(cos x)
2
4 cos x
= lim
x→π/2
−
cos x
2
= 0
La seule solution ayant une limite finie en π/2 est donc définie par
u(x) =
−1 − cos 2x
4 cos x
et l’on a lim
x→π/2
u(x) = 0.
Si s est une solution différente de u, alors 4λ + 1 = / 0 et la limite de s
en π/2 est +∞ si 4λ + 1 > 0, −∞ si 4λ + 1 < 0.
9.3 Si les fonctions s λ sont solutions d’une équation y
= a(x)y + b(x),
alors la différence de deux quelconques de ces fonctions est solution de
y
= a(x)y. Ainsi par exemple, la fonction s 1 − s 0 : x → ln x doit être
solution de y
= a(x)y, ce qui se traduit par
1
x = a(x) ln x, donc
a(x) =
1
x ln x
, pour tout x > 0.
De plus, la fonction s 0 : x → x doit vérifier s
0 (x) = a(x)s 0 (x) + b(x)
pour tout x > 0, ce qui s’écrit 1 =
1
x ln x
x + b(x). On en déduit
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Chapitre 9 • Équations différentielles
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