la constante consiste à écrire que l’on a s
0 (x) =
2
1−x 2 s 0 (x) + x, ce qui
conduit à l’égalité
c
(x)
1 + x
1 − x
= x , pour tout x ∈ I .
On en déduit
c
(x) =
1 − x
1 + x
x et c(x) =
x t (1 − t)
1 + t
dt.
On a la décomposition en éléments simples
t (1 − t)
1 + t
= 2 − t −
2
t + 1
,
d’où
c(x) = 2x −
1
2
x
2 − 2 ln(x + 1) , pour tout x ∈ I .
Une solution de l’équation est donc
s 0 (x) =
2x −
1
2
x
2 − 2 ln(x + 1)
1 + x
1 − x
.
Résolution. Les solutions de l’équation sont les fonctions s : I → R
définies par s(x) = λ
1 + x
1 − x
+
2x −
1
2
x
2 − 2 ln(x + 1)
1 + x
1 − x
,
où λ ∈ R.
b) On a s(0) = λ, donc la solution telle que s(0) = 0 est la fonction
f : I → R définie par f (x) =
2x −
1
2
x
2 − 2 ln(x + 1)
1 + x
1 − x
.
9.2 a) Une primitive de tan x =
sin x
cos x = −
cos x
cos x sur l’intervalle I est
x → −ln cos x . Puisque −ln cos x = ln
1
cos x , les solutions de l’équation
homogène sont les fonctions
x →
λ
cos x
, où λ ∈ R.
Cherchons une solution particulière s 0 de l’équation avec second membre. La méthode de variation de la constante consiste à poser
s 0 (x) =
c(x)
cos x
. En écrivant que s 0 est solution, il vient
c
(x)
cos x
= sin x,
donc
Solutions
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