Montrer qu’il existe une unique solution s de ( * ) telle que s(x 0 ) = a 0 et
s(x 1 ) = a 1 .
9.8 Soit le polynôme P = X
2 + pX + q, où p,q ∈ R.
Notons α et β les racines (réelles ou complexes) de P.
Rappelons que l’on a α + β = − p et αβ = q.
a) Supposons que les racines de P sont réelles. Démontrer l’équivalence : (α < 0 et β < 0)⇐⇒(p > 0 et q > 0).
b) Supposons que les racines de P sont complexes non réelles. Montrer
que l’on a q > 0 et l’équivalence : ( Re α < 0 ) ⇐⇒ ( p > 0 ).
c) On considère l’équation différentielle ( * ) y
+ py
+ qy = 0.
Montrer que toutes les solutions réelles de ( * ) tendent vers 0 quand x
tend vers +∞ si et seulement si p > 0 et q > 0.
(Utiliser les questions précédentes sans oublier le cas où P a une racine
double.)
SOLUTIONS
9.1 a) L’équation s’écrit y
=
2
1 − x 2 y + x : c’est bien une équation
linéaire avec second membre.
Résolution de l’équation homogène. Pour tout x ∈ I, on a
2
1 − x 2 =
1
1 − x
+
1
1 + x
x 2
1 − t 2 dt =
x dt
1 − t
+
x dt
1 + t
= −ln(1 − x) + ln(1 + x) = ln
1 + x
1 − x
car pour tout x ∈ I, on a 1 + x > 0 et 1 − x > 0.
Les solutions de l’équation homogène y
=
2
1−x 2 y sont les fonctions
I → R définies par x → λ
1 + x
1 − x
, où λ ∈ R.
Recherche d’une solution particulière. On cherche une solution s 0 de
l’équation sous la forme s 0 (x) = c(x)
1 + x
1 − x
. La méthode de variation de
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Chapitre 9 • Équations différentielles
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