EXERCICES
9.1 Soit l’équation différentielle y
=
2y
1 − x 2 + x.
a) Résoudre cette équation sur l’intervalle I = ] − 1,1[.
b) Quelle est la solution f telle que f (0) = 0 ?
9.2 On considère l’équation différentielle y
= (tan x)y + sin x sur
l’intervalle I = ] − π/2,π/2[.
a) Résoudre cette équation. Montrer que toutes les solutions sont des
fonctions paires.
b) Montrer qu’il existe une unique solution u : I → R ayant une limite
finie en π/2. Quelle est cette limite ?
9.3 Pour tout λ ∈ R, on définit la fonction s λ : ]0,+∞[→ R en posant
s λ (x) = x + λ ln x .
Trouver une équation différentielle linéaire du premier ordre ayant pour
solutions toutes les fonctions s λ .
9.4 Soit p,q ∈ R et soit s une solution de l’équation différentielle
y
+ py
+ qy = 0 ( * ). Montrer que la fonction dérivée s
est deux fois
dérivable et que s
est une solution de ( * ).
9.5 On considère l’équation différentielle y
+ 2y
+ 2y = sin x .
a) Trouver les solutions réelles de cette équation.
b) Montrer qu’il existe une unique solution ayant pour période 2π et
expliciter cette solution.
9.6 a) Trouver les solutions réelles de l’équation y
+ y = ( cos x)
2
.
Montrer que toutes les solutions ont pour période 2π.
b) Trouver les solutions réelles de l’équation y
− 4y
+ 4y = sh 2x.
9.7 Soit p,q ∈ R. On considère l’équation différentielle
y
+ py
+ qy = 0
( * )
et l’on suppose que le polynôme caractéristique a deux racines réelles
distinctes. Soit x 0 ,x 1 ,a 0 et a 1 des nombres réels tels que x 0 = / x 1 .
Exercices
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