En effet, si l’on a s
1 + ps
1 + qs 1 = b 1 et s
2 + ps
2 + qs 2 = b 2 , alors
(s
1 + s
2 ) + p(s
1 + s
2 ) + q(s 1 + s 2 ) =
(s
1 + ps
1 + qs 1 ) + (s
2 + ps
2 + qs 2 ) = b 1 + b 2 .
On en déduit la règle suivante (principe de superposition).
Supposons que le second membre d’une équation différentielle linéaire
d’ordre 2 est une somme b 1 + b 2 + · · · + b n . Pour avoir une solution,
il suffit de calculer une solution de chaque équation de second membre
b i , et d’en faire la somme.
Exemple. Résolvons l’équation ( * ) y
− 3y
+ 2y = ch x.
Puisque ch x =
1
2
e
x +
1
2
e
−x , on considére les équations
( *1 ) y
− 3y
+ 2y =
1
2
e
x
et
( *2 ) y
− 3y
+ 2y =
1
2
e
−x
Le polynôme caractéristique est X
2 − 3X + 2 , ses racines sont 1 et 2.
• Puisque 1 est racine du polynôme caractéristique, cherchons une solution de ( *1 ) de la forme s 1 (x) = kx e
x . On a s
1 (x) = k(1 + x)e
x ,
s
1 (x) = k(2 + x)e
x et
s
1 (x) − 3s
1 (x) + 2s 1 (x) = −k e
x
En prenant k= −
1
2
, la fonction s 1 (x) = −
1
2
x e
x est solution de ( *1 ).
• Puisque −1 n’est pas racine du polynôme caractéristique, cherchons une
solution de ( *2 ) de la forme s 2 (x) = k e
−x . On a
s
2 (x) − 3s
2 (x) + 2s 2 (x) = 6k e
−x ,
donc la fonction s 2 (x) =
1
12
e
−x est solution de ( *2 ).
On en déduit que la fonction x → −
1
2
x e
x +
1
12
e
−x est solution de ( * ).
Les solutions réelles de l’équation ( * ) sont donc les fonctions
x → λ e
x + µ e
2x −
1
2
x e
x +
1
12
e
−x , où λ,µ ∈ R.
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Chapitre 9 • Équations différentielles
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