Le polynôme caractéristique est X
2 + ω
2 , ses racines sont iω et − iω.
Premier cas : a = / ω. Le nombre m = i a n’est pas racine du polynôme
caractéristique, donc on cherche une solution de ( ** ) de la forme
s 0 (x) = ke
i ax , où k ∈ C . Pour tout x ∈ R, on a
s
0 (x) + ω
2 s 0 (x) = −ka
2 e
i ax + ω
2 ke
i ax = k(ω
2 − a
2 )e
i ax
et en prenant k =
1
ω 2 − a 2 , la fonction s 0 (x) =
1
ω 2 − a 2 e iax est une solution de ( ** ).
La fonction x →
1
ω 2 − a 2 cos ax est donc une solution de ( * ).
Second cas : a = ω. Cette fois, le nombre ia est racine simple du polynôme
caractéristique, donc on cherche une solution de ( ** ) de la forme
s 0 (x) = kx e iax , où k ∈ C .
On a s
0 (x) = k(iax + 1)e iax , s
0 (x) = k(−a
2 x + 2ia)e iax et
s
0 (x) + ω
2 s 0 (x) = k
−a
2 x + 2ia + ω
2 x
e
iax = k
2ia e
iax
En prenant k =
1
2ia
=
−i
2a
, on a Re
−i
2a
x e iax
=
1
2a
x sin ax et la fonction
x →
1
2ω
x sin ωx est solution de ( * ).
On peut maintenant exprimer les solutions de l’équation ( * ).
• Si a = / ω, les solutions réelles sont les fonctions
x → λ cos ωx + µ sin ωx +
1
ω 2 − a 2 cos ax , où λ,µ ∈ R.
• Si a = ω, les solutions réelles sont les fonctions
x → λ cos ωx + µ sin ωx +
1
2ω
x sin ωx , où λ,µ ∈ R.
9.4.2 Principe de superposition
Supposons que le second membre de l’équation différentielle est une
somme de deux fonctions :
y
+ py
+ qy = b 1 (x) + b 2 (x)
( * )
Considérons les deux équations différentielles
y
+ py
+ qy = b 1 (x)
( * 1 )
y
+ py
+ qy = b 2 (x)
( * 2 )
Si s 1 est une solution de ( * 1 ) et si s 2 est une solution de ( * 2 ), alors la
fonction s 1 + s 2 est une solution de ( * ).
9.4 • Équation y
= py
+ qy = b(x)
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