Une solution de l’équation différentielle y
+ py
+ qy = b(x) est une
fonction s : I → R deux fois dérivable telle que, pour tout x ∈ I, on a
s
(x) + ps
(x) + qs(x) = b(x) .
On dit que l’équation différentielle y
+ py
+ qy = b(x) est linéaire
du second ordre avec second membre.
L’équation y
+ py
+ qy = 0 est dite homogène.
Comme pour une équation linéaire du premier ordre, on a le résultat suivant.
Supposons que s 0 est une solution de l’équation y
+ py
+ qy = b(x).
Alors les solutions de cette équation sont les fonctions s = s 0 + f, où f
est solution de l’équation homogène y
+ py
+ qy = 0.
On en déduit une méthode pour trouver toutes les solutions.
Méthode pour résoudre l’équation y
+ py
+ qy = b(x)
1) On résout l’équation homogène y
+ py
+ qy = 0,
2) on cherche une solution particulière s 0 de l’équation avec second
membre,
3) puis on ajoute s 0 à toutes les solutions de l’équation homogène.
Nous ne chercherons pas, dans le cas général, à calculer une solution
particulière de l’équation y
+ py
+ qy = b(x). Traitons seulement le
cas (fréquent dans les applications) d’un second membre de la forme
P(x)e
mx
, où P est une fonction polynôme.
9.4.1 Cas b(x) = P(x)e mx , P fonction polynôme
Soit P un polynôme de degré n et soit m ∈ C. On cherche une solution
particulière de la forme s 0 (x) = Q(x)e
mx
, où Q est un polynôme
• de degré n si m n’est pas racine du polynôme caractéristique ;
• de degré n + 1 et sans terme constant, si m est racine simple du
polynôme caractéristique ;
• de degré n + 2, sans terme constant ni monome de degré 1, si m
est racine double du polynôme caractéristique.
Quand le second membre est simplement un polynôme, on applique ces
résultats avec m = 0.
Exemple. Résolvons l’équation ( * ) y
+ ω
2 y = cos ax , (ω > 0,a > 0) .
Puisque cos ax = Re
e iax
, on cherche une solution de l’équation
y
+ ω
2 y = e
iax
( ** )
et on en prendra la partie réelle.
190
Chapitre 9 • Équations différentielles
9782100545636-Liret-C09.qxd 31/03/10 10:50 Page 190