Il vient
(λ − ¯
µ)u(x) + (µ − ¯
λ)v(x) = 0 , quel que soit x ∈ R
(λ − ¯
µ)u + (µ − ¯
λ)v = 0
( * )
Puisque α = / ¯
α , on sait que les fonctions u et v sont des vecteurs indépendants
dans l’espace vectoriel sur C des fonctions R → C (tome d’Algèbre, chapitre :
Espace vectoriel). Dans l’égalité ( * ), les scalaires λ − ¯
µ et µ − ¯
λ sont donc tous
deux nuls, autrement dit µ = ¯
λ. Puisque s = λu + µv, il s’ensuit
s(x) = λ e
αx + ¯
λ e
¯
αx = λ e
αx + λ e αx = 2 Re
λ e
αx
Posons λ = a + ib, où a,b ∈ R. Alors
λ e
αx = (a + ib) e
r x
cos ωx + i sin ωx
Re
λ e
αx
= e
r x
a cos ωx − b sin ωx
s(x) = 2 Re
λ e αx
= e
r x
2a cos ωx − 2b sin ωx
d’où le résultat.
J
Comme pour les solutions complexes, on peut montrer que l’ensemble
des solutions réelles de l’équation y
+ py
+ qy = 0 est un espace
vectoriel sur R de dimension 2.
Exemple 1. Prenons l’équation y
− a
2 y = 0 , où a ∈ R
∗ .
Le polynôme caractéristique est X
2 − a
2 , ses racines sont a et −a,donc les
solutions réelles sont les fonctions
s(x) = λ e
ax + µ e
−ax , où λ,µ ∈ R.
Exemple 2. Prenons l’équation y
+ ω
2 y = 0, où ω ∈ R
∗ .
Le polynôme caractéristique est X
2 + ω
2 , ses racines sont i ω et −iω, donc
les solutions réelles sont les fonctions
s(x) = λ cos ωx + µ sin ωx , où λ,µ ∈ R.
Exemple 3. Soit l’équation différentielle y
− 4y
+ 4y = 0.
Le polynôme caractéristique est X
2 − 4X + 4 = (X − 2)
2 , il a une racine
double 2, donc les solutions réelles de l’équation différentielle sont les
fonctions
s(x) = (λ + µx)e
2x , où λ,µ ∈ R .
9.4 ÉQUATION y
+ py
+ qy = b(x)
La fonction x → b(x), appelée second membre de l’équation, est supposée continue sur un intervalle I.
9.4 • Équation y
= py
+ qy = b(x)
189
9782100545636-Liret-C09.qxd 31/03/10 10:50 Page 189