9.3.1 À la recherche de solutions
Définition. Le polynôme X
2 + pX + q s’apelle le polynôme caractéristique de l’équation différentielle y
+ py
+ qy = 0.
Théorème. Si α est une racine du polynôme caractéristique, alors
la fonction x → e
αx
est une solution de l’équation différentielle.
Démonstration. Soit α une racine du polynôme caractéristique, donc
α
2 + pα + q = 0 . Posons s(x) = e
αx
. Alors pour tout x ∈ R,
s
(x) + ps
(x) + qs(x) = α
2 e
αx + pαe
αx + qe
αx
= (α
2 + pα + q)e
αx = 0 .
La fonction s est donc solution de l’équation y
+ py
+ qy = 0.
J
Si le polynôme caractéristique a deux racines α et β, on a déjà les deux
solutions x → e
αx
et x → e
β x
: dans ce cas, pour tous nombres complexes λ et µ, la fonction x → λ e
αx + µ e
β x
est solution.
Un résultat préliminaire. Soient s 1 et s 2 des solutions de l’équation
différentielle y
+ py
+ qy = 0. Alors il existe une constante
c ∈ C telle que s
1 (x)s 2 (x) − s 1 (x)s
2 (x) = c e
− px
pour tout x ∈ R.
Démonstration. Posons w = s
1 s 2 − s 1 s
2 . Alors
w
= s
1 s 2 + s
1 s
2 − s
1 s
2 − s 1 s
2 = s
1 s 2 − s 1 s
2
Puisque s 1 et s 2 sont solutions de l’équation, on a
s
1 + ps
1 + qs 1 = 0
s
2 + ps
2 + qs 2 = 0
Multiplions la première égalité par s 2 , la seconde par s 1 et soustrayons.
Les termes qs 1 s 2 = qs 2 s 1 se simplifient et il reste :
s
1 s 2 − s 1 s
2 + p(s
1 s 2 − s 1 s
2 ) = 0
w
+ pw = 0
( * )
La relation ( * ) montre que la fonction w est solution de l’équation différentielle
y
= − py qui est du premier ordre à coefficient constant. Il y a donc un nombre c tel que, pour tout x ∈ R, w(x) = c e
− px
.
J
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Chapitre 9 • Équations différentielles
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