Rappelons que nous avons défini (page 129) la notion de fonction
R → C dérivable, ainsi que la fonction exponentielle x → e
λx
, où λ est
un nombre complexe.
Les règles pour dériver une fonction R → C sont les mêmes que pour
une fonction à valeurs réelles.
En particulier, si λ ∈ C, la dérivée de x → e
λx
est x → λ e
λx
.
Définition. Une solution de l’équation différentielle
y
+ py
+ qy = 0 est une fonction s : R → C deux fois dérivable
telle que, pour tout x ∈ R, on a s
(x) + ps
(x) + qs(x) = 0 .
Si s est à valeurs dans R, on dit que c’est une solution réelle
Le qualificatif « linéaire » se justifie par les propriétés suivantes.
Propriétés des solutions. Si s 1 et s 2 sont des solutions et si λ 1 et λ 2
sont des nombres complexes, alors la fonction λ 1 s 1 + λ 2 s 2 est solution.
Démonstration. Soient s 1 et s 2 des solutions. On a donc pour tout x ∈ R :
s
1 (x) + ps
1 (x) + qs 1 (x) = 0
s
2 (x) + ps
2 (x) + qs 2 (x) = 0
Multiplions la première égalité par λ 1 , la seconde par λ 2 et ajoutons :
λ 1 s
1 (x) + λ 1 ps
1 (x) + λ 1 qs 1 (x) + λ 2 s
2 (x) + λ 2 ps
2 (x) + λ 2 qs 2 (x) = 0
λ 1 s
1 (x)+λ 2 s
2 (x)
+ p
λ 1 s
1 (x)+λ 2 s
2 (x)
+ q
λ 1 s 1 (x)+λ 2 s 2 (x)
= 0
Ainsi pour tout x ∈ R, on a
λ 1 s
1 +λ 2 s
2
(x) + p
λ 1 s
1 +λ 2 s
2
(x) + q
λ 1 s 1 +λ 2 s 2
(x) = 0
donc la fonction
λ 1 s
1 +λ 2 s
2
+ p
λ 1 s
1 +λ 2 s
2
+ q
λ 1 s 1 +λ 2 s 2
est nulle. On
a (λ 1 s 1 +λ 2 s 2 )
+ p(λ 1 s 1 +λ 2 s 2 )
+ q(λ 1 s 1 +λ 2 s 2 ) = 0 et cela veut dire que la
fonction λ 1 s 1 +λ 2 s 2 est une solution.
J
Remarquons que la fonction nulle est solution de l’équation.
Les propriétés précédentes montrent que l’ensemble des solutions de l’équation différentielle y
+ py
+ qy = 0 est un
sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel (sur C) des fonctions R → C.
9.3 • Équation y
= py
+ qy = 0
185
9782100545636-Liret-C09.qxd 31/03/10 10:50 Page 185