c(x) =
x
t
√ 1+t 2
dt =
1+x 2
et par suite
s 0 (x) = c(x)
1+x 2 = 1 + x
2
Les solutions de l’équation différentielle y
=
x y
1+x 2
+ x sont les fonctions
s : R → R définies par
s(x) = λ
1+x 2 + 1 + x
2 ,
où
λ ∈ R.
9.2.4 Détermination d’une solution
Dans les applications, la solution à laquelle on s’intéresse est souvent
déterminée par la valeur y 0 qu’elle prend en un certain x 0 ∈ I. On dit que
x 0 et y 0 sont les conditions initiales de la solution.
La proposition suivante montre qu’une solution est entièrement déterminée par ses conditions initiales.
Proposition. Soit x 0 ∈ I et y 0 ∈ R. Il existe une unique solution s
de l’équation y
= a(x)y + b(x) telle que s(x 0 ) = y 0 .
Démonstration. Soit s 0 une solution de l’équation. Alors les solutions sont
définies par s(x) = λ e
A(x) + s 0 (x) , où λ ∈ R . Cherchons le nombre λ pour
que s(x 0 ) = y 0 : cette égalité s’écrit
λ e
A(x0) + s 0 (x 0 ) = y 0
d’où λ =
y 0 − s 0 (x 0 )
e
−A(x0)
. Il y a une seule valeur de λ qui convient, donc
une seule solution s telle que s(x 0 ) = y 0 .
J
Exemple. Reprenons l’équation de l’exemple précédent et cherchons la solution s telle que s(0) = 0.
On a s(x) = λ
√
1+x 2 + 1 + x
2 , d’où s(0) = λ + 1. Pour que s(0) = 0, il
faut et il suffit que λ = −1. La solution cherchée est donc la fonction
x → −
√
1+x 2 + 1 + x
2 .
9.3 ÉQUATION y
+ py
+ qy = 0
Dans cette équation, p et q sont des constantes réelles. Il s’agit d’une
équation du second ordre (car y figure la dérivée seconde), linéaire, à
coefficients constants.
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Chapitre 9 • Équations différentielles
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