Il suffit de calculer l’intégrale pour obtenir une solution particulière
s 0 (x) = c(x)e
A(x)
de l’équation y
= a(x)y + b(x).
La fonction s 0 : I → R définie par :
s 0 (x) = e
A(x)
x
b(t)e
−A(t) dt
est une solution de l’équation y
= a(x)y + b(x).
Ne retenez pas cette formule. Au contraire, refaites dans chaque exercice
le calcul de la variation de la constante.
9.2.3 Résolution de l’équation y
= a(x)y + b(x)
• On résout l’équation homogène y
= a(x)y en calculant une primitive x → A(x) de la fonction x → a(x).
• On cherche une solution particulière s 0 de l’équation
y
= a(x) + b(x) (en général) par la méthode de variation de la
constante, en posant
s 0 (x) = c(x)e
A(x) .
• Les solutions de y
= a(x) + b(x) sont les fonctions
s(x) = λ e
A(x) + s 0 (x) , où λ ∈ R.
Exemple. Résolvons l’équation différentielle y
=
xy
1+x 2 + x.
Dans l’exemple page 181, nous avons vu que les solutions de l’équation
homogène y
=
x y
1+x 2 sont les fonctions x → λ
√
+x 2 , où λ ∈ R.
Pratiquons la méthode de variation de la constante en cherchant une solution s 0 de l’équation avec second membre, de la forme
s 0 (x) = c(x)
1+x 2 , où x → c(x) est à déterminer.
La fonction s 0 est solution si et seulement si s
0 (x) =
x
1+x 2 s 0 (x) + x,
c’est-à-dire
c
(x)
1+x 2 + c(x)
x
√ 1+x 2
=
x
1+x 2 c(x)
1+x 2 + x
On simplifie cette égalité par le terme commun à chaque membre,et il vient
c
(x)
√ 1+x 2 = x . On a c
(x) =
x
√ 1+x 2
, donc
9.2 • Équation y
= a(x)y + b(x)
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