Démonstration. Soit s : I → R une fonction dérivable. Pour tout x ∈ I, on a
(a(x)s(x)+b(x)
−
a(x)s 0 (x)+b(x)
= a(x)
s(x)−s 0 (x)
. Puisqu’on a
par hypothèse s
0 (x) = a(x)s 0 (x)+b(x), on en déduit les équivalences :
s est solution de y
=a(x)y+b(x)
⇐⇒ s
(x) = a(x)s(x) + b(x) pour tout x ∈ I
⇐⇒ s
(x)−s
0 (x) = a(x)
s(x)−s 0 (x)
pour tout x ∈ I
⇐⇒ la fonction x → s(x)−s 0 (x) est solution de y
= a(x)y.
Ainsi la fonction s est solution de y
= a(x)y+b(x) si et seulement si la fonction f = s−s 0 est solution de l’équation homogène y
= a(x)y . Il reste à
remarquer que l’on a f = s−s 0 ⇐⇒ s = s 0 + f.
J
Voici une autre façon d’énoncer la propriété précédente.
Si s 0 est une solution particulière de l’équation différentielle
y
= a(x)y + b(x), alors les solutions de cette équation s’obtiennent en ajoutant à s 0 une solution quelconque de l’équation homogène y
= a(x)y.
Pour trouver une solution particulière de l’équation avec second membre, on utilise la méthode suivante.
9.2.2 Méthode de variation de la constante
Soit A une primitive de la fonction x → a(x).
Soit s : I → R une fonction dérivable. Nous avons déjà remarqué que
l’on peut poser s(x) = c(x)e
A(x)
, où c est une fonction dérivable (voir
dans une démonstration page 180).
Cherchons la fonction x → c(x) pour que s soit solution de l’équation
y
= a(x)y + b(x). On a
s
(x) = c
(x)e
A(x) + c(x)
A
(x)e
A(x)
= c
(x)e
A(x) + c(x)a(x))e
A(x)
a(x)s(x)+b(x) = a(x)c(x)e
A(x) + b(x)
s
(x) −
a(x)s(x) + b(x)
= c
(x)e
A(x) − b(x)
donc :
s est solution ⇐⇒ c
(x)e
A(x) = b(x)
pour tout x ∈ I
⇐⇒ c
(x) = b(x)e
−A(x)
pour tout x ∈ I
⇐⇒ c(x) =
x
b(t)e
−A(t) dt pour tout x ∈ I
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Chapitre 9 • Équations différentielles
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