Comme e
A(x)
ne prend jamais la valeur 0 (car e
t = / 0 quel que soit t ∈ R), il
s’ensuit c
(x) = 0 pour tout x ∈ I. Puisque I est un intervalle, on en déduit que
la fonction x → c(x) est constante : il existe λ ∈ R tel que, quel que soit x ∈ I,
c(x) = λ . Par conséquent, s(x) = λ e
A(x)
pour tout x ∈ I.
J
Cas particulier : équation y
= my, où m ∈ R . Pour cette équation, la
fonction x → a(x) est constante : pour tout x ∈ I, a(x) = m . Une primitive de la fonction a est x → mx, donc on retrouve les solutions
x → λ e
mx
.
Exemple. Résolvons l’équation différentielle y
=
x y
1+x 2 .
Il s’agit bien d’une équation différentielle linéaire puisqu’elle s’écrit
y
= a(x)y , où a : R → R est définie par a(x) =
x
1+x 2 .
• Calculons une primitive A(x) =
x t
1+t 2 dt.
En posant h(t) = 1+t
2 , on a h
(t) = 2t, donc
A(x) =
x t
1+t 2 dt =
1
2
x 2t
1+t 2 dt =
1
2
x h
(t)
h(t)
dt
A(x) =
1
2
ln
h(x)
= ln
1+x 2
• On a e
A(x) =
√ 1+x 2 pour tout x ∈ R, donc les solutions de l’équation
sont les fonctions s : R → R définies par
s(x) = λ
1+x 2 , où λ ∈ R .
9.2 ÉQUATION y
= a(x)y + b(x)
Soit a : I → R et b : I → R des fonctions continues.
Définition. Une solution de l’équation différentielle
y
= a(x)y + b(x) est une fonction s : I → R telle que
s
(x) = a(x)s(x) + b(x) quel que soit x ∈ I.
• L’équation y
= a(x)y + b(x) s’appelle une équation différentielle
linéaire avec second membre b(x).
• L’équation y
= a(x)y est dite sans second membre ou homogène.
9.2.1 Propriétés des solutions
Supposons que s 0 est une solution de l’équation différentielle
y
= a(x)y + b(x). Alors les solutions de cette équation sont les fonctions s = s 0 + f, où f est solution de y
= a(x)y.
9.2 • Équation y
= a(x)y + b(x)
181
9782100545636-Liret-C09.qxd 31/03/10 10:50 Page 181