Démonstration. Si s est une solution de l’équation y
= a(x)y , alors pour
tout λ ∈ R, on a
(λs)
(x) = λs
(x) = λa(x)s(x) = a(x)
λs(x)
pour tout x ∈ I ,
donc la fonction λs est solution. Si s 1 et s 2 sont des solutions, alors
(s 1 +s 2 )
(x) = s
1 (x)+s
2 (x) = a(x)s 1 (x)+a(x)s 2 (x) = a(x)
s 1 (x)+s 2 (x)
donc la fonction s 1 +s 2 est solution.
J
Résolution de y
= a(x)y
Soit A : I → R une primitive de la fonction a. Les solutions de
l’équation y
= a(x)y sont les fonctions s : I → R définies par
s(x) = λ e
A(x) , où λ ∈ R
Notons u : I → R la fonction définie par u(x) = e
A(x)
. D’après
l’énoncé ci-dessus, toutes les solutions de l’équation y
= a(x)y sont de
la forme λu, où λ ∈ R. La fonction u est donc une base de l’espace vectoriel des solutions.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle
y
= a(x)y est un espace vectoriel de dimension 1.
Démonstration. La fonction x → a(x) étant par hypothèse continue, elle a
une primitive A sur I. Soit u : I → R la fonction définie par u(x) = e
A(x)
. La
fonction u est dérivable et puisque A
= a, on a u
(x) = A
(x)e
A(x) =
a(x)u(x) : la fonction u est donc une solution.
Remarquons que toute fonction s : I → R est de la forme x → c(x)e
A(x)
: en
effet, il suffit de poser c(x) = s(x)e
− A(x)
pour tout x ∈ I. Si s est dérivable,
alors c est le produit de deux fonctions dérivables, donc est dérivable
Soit s une solution. Écrivons s sous la forme s(x) = c(x)e
A(x)
.
Alors d’après la règle pour dériver un produit, il vient :
s
(x) = c
(x)e
A(x) + c(x)
A
(x)e
A(x)
= c
(x)e
A(x) + c(x)a(x)e
A(x)
car A
(x) = a(x). Puisque c(x)a(x)e
A(x) = a(x)s(x), on en déduit
0 = s
(x) − a(x)s(x) = c
(x)e
A(x) , pour tout x ∈ I .
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Chapitre 9 • Équations différentielles
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