9.1 ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE y
= a(x)y
Soit I un intervalle et a : I → R une fonction continue.
Définition. Une solution de l’équation différentielle y
= a(x)y est
une fonction dérivable s : I → R telle que, pour tout x ∈ I,
s
(x) = a(x)s(x).
Remarquons que la fonction nulle est solution.
Propriétés des solutions.
® Si s est une solution, alors pour tout λ ∈ R, la fonction
λs : x → λs(x) est solution.
® Si s 1 et s 2 sont solutions, alors la fonction s 1 +s 2 :
x → s 1 (x)+s 2 (x) est solution.
Ces propriétés signifient que les solutions de l’équation différentielle y
= a(x)y forment un sous-espace vectoriel de l’espace
de toutes les fonctions I → R.
L’équation y
= a(x)y s’appelle une équation différentielle linéaire du
premier ordre
9
CHAPITRE
Équations
différentielles
Ce chapitre montre comment résoudre une équation différentielle du
premier ordre y
= a(x)y + b(x), une équation du second ordre
à coefficients constants y
+ py
+ qy = 0 et certaines équations
y
+ py
+ qy = b(x) avec second membre. Toutes ces équations
différentielles ont de nombreuses applications.
OBJECTIFS
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