9.3.2 Résolution de l’équation y
+ py
+ qy = 0
Proposition.
® Si le polynôme caractéristique a deux racines distinctes α et β,
alors les solutions de l’équation y
+ py
+ qy = 0 sont les
fonctions s : R → C définies par s(x) = λ e
αx + µ e
βx
, où
λ,µ ∈ C.
® Si le polynôme caractéristique a une racine double r, alors les
solutions de l’équation y
+ py
+ qy = 0 sont les fonctions
s : R → C définies par s(x) = λ e
r x + µ xe
r x
, où λ,µ ∈ C.
Posons u(x) = e
αx
et v(x) = e
βx
. Si α = / β, les vecteurs u et v sont
indépendants dans l’espace vectoriel sur C des fonctions R → C (tome
d’Algèbre, chapitre : Espace vectoriel).
Il n’est pas difficile de montrer de même que les fonctions x → e
r x
et
x → xe
r x
sont aussi des vecteurs indépendants dans cet espace vectoriel. On en déduit :
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle
y
+ py
+ qy = 0 est un espace vectoriel sur C de
dimension 2.
Démonstration de la proposition
• Supposons d’abord que le polynôme X
2 + p X + q a deux racines distinctes α et β (réelles ou complexes). Posons u(x) = e
αx
et v(x) = e
β x
. On sait
déja que pour tous nombres complexes λ et µ, la fonction λu + µv est solution. Montrons que toute solution est de cette forme.
Soit s une solution. Appliquons le résultat préliminaire aux solutions s 1 = u
et s 2 = s : il existe un nombre c 1 ∈ C tel que
u
(x)s(x) − u(x)s
(x) = c 1 e
− px
(1)
De même, en appliquant aux solutions v et s, il existe c 2 ∈ C tel que
v
(x)s(x) − v(x)s
(x) = c 2 e
− px
(2)
Multiplions (1) par v(x), (2) par u(x), et soustrayons. Après simplification,
il reste
u
(x)v(x) − u(x)v
(x)
s(x) =
c 1 v(x) − c 2 u(x)
e
− px
(3)
Or u
(x)v(x) − u(x)v
(x) = (α − β)e
αx e
β x = (α − β)e
(α+β)x
, donc
u
(x)v(x) − u(x)v
(x) = (α − β)e
− px
(4)
9.3 • Équation y
= py
+ qy = 0
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