1.4.2 La fonction Arc tangente
Définition. Pour tout x ∈ R, on note Arctan x l’unique nombre
α ∈ ]−π/2,π/2[ tel que x = tan α.
La fonction Arctan : R →]−π/2,π/2[ s’appelle la fonction Arc tangente.
® Pour tout x ∈ R, on a tan ( Arctan x) = x.
® Pour tout α ∈ ]−π/2,π/2[ , on a Arctan( tan α) = α.
La fonction Arctan est la bijection réciproque
de la fonction tan : ]−π/2,π/2[→ R .
On en déduit les propriétés suivantes.
• La fonction Arctan est continue et strictement croissante.
• La fonction Arctan est impaire, car tangente est impaire.
•
lim
x→+∞
Arctan x = π/2 et lim
x→−∞
Arctan x = −π/2.
La courbe de Arctan a donc une asymptote horizontale d’équation
y = π/2 en +∞, et une asymptote horizontale d’équation
y = −π/2 en −∞.
• Soit b ∈ R et soit a = Arctan b . Alors a ∈ ]−π/2,π/2[ et
tan
(a) = 1+( tan a)
2 = / 0, donc (dérivée de la bijection réciproque)
Arctan
(b) =
1
tan (a)
=
1
1 + ( tan a) 2 =
1
1 + b 2
Arctan
(x) =
1
1 + x 2 , pour tout x ∈ R
1.4 • Fonctions trigonométriques réciproques
11
Courbe de Arcsin
sin
1
–1
1
–1
Arcsin
π/2
−π/2
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