1.4 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES RÉCIPROQUES
1.4.1 La fonction Arc sinus
Définition. Pour tout x ∈ [−1,1], on note Arcsin x l’unique nombre
α ∈ [−π/2,π/2] tel que x = sin α.
La fonction Arcsin : [−1,1] → [−π/2,π/2] s’appelle la fonction
Arc sinus.
® Pour tout x ∈ [−1,1], on a sin(Arcsin x) = x.
® Pour tout α ∈ [−π/2,π/2] , on a Arcsin(sinα) = α.
La fonction Arcsin est la bijection réciproque
de la fonction sin : [−π/2,π/2] → [−1,1] .
On en déduit les propriétés suivantes.
• La fonction Arcsin est continue et strictement croissante.
• La fonction Arcsin est impaire, car sinus est impaire.
• Soit b ∈]−1,1[ et soit a = Arcsin b. On a a ∈]−π/2,π/2[, donc
sin
(a) = cos a > 0. Par suite (dérivée de la bijection réciproque)
Arcsin
(b) =
1
sin
(a)
=
1
cos a
=
1
1− sin
2
a
=
1
√
1 − b 2
Arcsin
(x) =
1
√
1 − x 2
, pour tout x ∈]−1,1[
La courbe de Arc sinus a des demi-tangentes verticales aux points
(1,π/2) et (−1,−π/2).
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Chapitre 1 • Suites et fonctions
Courbe de la fonction tangente
π/2
3π/2
−3π/2−π/2
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