a
K ,
b
K
est sur le cercle trigonométrique. On en déduit qu’il existe un
(unique) nombre θ ∈ [0,2π[ tel que
a
K
= cos θ et
b
K
= sin θ
Il vient acos x + bsin x = K (cos θ cos x + sin θ sin x) , c’est-à-dire
a cos x + b sin x = K cos(x − θ) pour tout x ∈ R.
Équation a cos x + b sin x = c
Puisque K = / 0, on a pour tout x l’équivalence :
a cos x + b sin x = c ⇐⇒ cos(x − θ) =
c
K
Premier cas :
c
K
> 1. L’équation a cos x + b sin x = c n’a aucune
solution, car la fonction cosinus ne prend que des valeurs dans [−1,1].
Second cas :
c
K
1. Il existe un nombre α tel que
c
K = cos α. Les
solutions de l’équation a cos x + b sin x = c sont alors les nombres
θ+α+2kπ et θ−α+2kπ, où k ∈ Z.
1.3.3 Fonction tangente
La fonction tangente est définie par tan x =
sin x
cos x
. Son ensemble de
définition est {x ∈ R | cos x = / 0} = R \ {π/2 + kπ; k ∈ Z} .
Propriétés de la fonction tangente
• La fonction tangente est π-périodique, car cos(x+π) = − cos x et
sin(x+π) = − sin x, donc tan (x+π) = tan x.
• La fonction tangente est impaire, car la fonction sinus est impaire et
la fonction cosinus est paire.
• On a tan
(x) = 1 + ( tan x)
2
. La fonction tangente est donc strictement croissante sur l’intervalle ]−π/2,π/2[ et aussi, par périodicité,
sur tous les intervalles ]−π/2+kπ,π/2+kπ[,où k ∈ Z.
• lim
x→π/2
tan x = +∞ et lim
x→−π/2
tan x = −∞ : la courbe de tangente a
donc une asymptote verticale en π/2 et en −π/2.
1.3 • Fonctions et équations trigonométriques
9
9782100545636-Liret-C01.qxd 31/03/10 10:00 Page 9