Proposition. Soit I un intervalle et f : I → R une fonction telle
que, pour tout x ∈ I, on a f (x) ∈ I. Supposons que
(i) il existe α ∈ I tel que f (α) = α ;
(ii) la fonction f est dérivable sur I ;
(iii) il existe un nombre K <1 tel que, pour tout x ∈ I ,
f
(x)
K.
Alors quel que soit u 0 ∈ I, la suite itérative définie par la relation
u n+1 = f (u n ) a pour limite α.
Dans ces conditions, on dit que α est un point fixe attractif.
Démonstration. On a u n+1 − α = f (u n ) − f (α) car u n+1 = f (u n ) et
f (α) = α . Appliquons l’inégalité des accroissements finis à la fonction f entre
u n et α : puisqu’on a
f
(x)
K pour tout x ∈ I, il vient
f (u n ) − f (α)
K |u n − α|
|u n+1 − α| K |u n − α|
(1)
Il s’ensuit (démonstration par récurrence) que
pour tout n 1, |u n − α| K
n |u 0 − α|
(2)
Puisqu’on a supposé 0 K < 1 , on a lim
n→+∞
K
n = 0, donc aussi lim |u n −α|
= 0, ou encore lim u n = α.
J
Remarques
a) L’inégalité (1) montre que pour tout n, on a |u n+1 − α| |u n −α| : la distance de u n à α est donc décroissante.
b) L’inégalité (2) permet de majorer cette distance : par exemple, si p est un
entier positif tel que K
p |u 0 −α| < 10
−3 , alors pour tout n p, on a l’encadrement |u n − α| 10
−3 .
1.3 FONCTIONS ET ÉQUATIONS TRIGONOMÉTRIQUES
1.3.1 Équations cos x = cos α et sin x = sin α
® Les solutions de l’équation cos x = cos α sont les nombres α+2kπ
et −α+2kπ, où k ∈ Z.
® Les solutions de l’équation sin x = sin α sont les nombres α+2kπ et
π−α+2kπ, où k ∈ Z.
1.3.2 Fonction x → a cos x + b sin x
Soient a,b des nombres réels non tous deux nuls. Posons K =
√
a 2 +b 2 .
On a alors
a
K
2 +
b
K
2 =
a 2 +b 2
K 2 = 1 , donc le point de coordonnées
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Chapitre 1 • Suites et fonctions
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