Démonstration. La fonction f est continue (car dérivable) et elle est strictement croissante par hypothèse sur le signe de f
. D’après le théorème de la bijection, f définit une bijection de I sur un intervalle J. Pour tout y ∈ J \ {b} ,
posons ϕ(y) =
f
−1 (y)− f
−1 (b)
y−b
. On a
ϕ
f (x)
=
f
−1 f (x)
− f
−1 (b)
f (x)−b
=
x−a
f (x)−b
, pour tout x ∈ I \ {a} .
Passons à la limite quand y tend vers b. Puisque lim
x→a
f (x) = f (a) = b , il vient
lim
y→b
ϕ(y) = lim
x→a
ϕ
f (x)
= lim
x→a
x−a
f (x)− f (a)
=
1
f (a)
car f
(a) = / 0. La fonction f
−1
a donc pour dérivée en b le nombre
1
f (a)
. J
1.2 SUITES ITÉRATIVES
Soit I un intervalle et f : I → R une fonction telle que pour tout x ∈ I,
on a f (x) ∈ I. Si u 0 ∈ I, alors u 1 = f (u 0 ) et u 2 = f (u 1 ) appartiennent
à I, et l’on peut définir de proche en proche u n+1 = f (u n ) pour tout
entier n 0.
Rappels
® Si la suite (u n ) a pour limite un nombre α ∈ I et si f est continue en
α, alors α est un point fixe de la fonction f, c’est-à-dire que l’on a
f (α) = α.
® Si la fonction f est croissante, alors la suite (u n ) est monotone (croissante si u 1 u 0 , décroissante si u 1 u 0 ).
Mettons en évidence un cas où la suite (u n ) est convergente.
1.2 • Suites itératives
7
x
y
y = x
y = f(x)
y = f (x)
–1
A
A’
Si la pente en A est t, la pente en A
est 1/t.
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