Démonstration. La fonction g : x → M x− f (x) a pour dérivée
g
(x) = M− f
(x) 0, donc g est croissante. Puisque a < b, on en déduit
Ma− f (a) = g(a) g(b) = Mb− f (b) , d’où f (b)− f (a) M(b−a) . On
raisonne de même pour montrer l’autre inégalité.
J
Corollaire. Soit I un intervalle et f : I → R une fonction dérivable.
Supposons qu’il existe un nombre K tel que
f
(x)
K pour tout
x ∈ I. Alors pour tout a ∈ I et pour tout x ∈ I, on a
f (x) − f (a)
K |x − a|
6
Chapitre 1 • Suites et fonctions
La courbe de f reste dans le cône coloré.
a
y
x
y = f(x)
y = f ( a ) – K |x – a |
y = f ( a ) + K |x – a |
Pensez aux inégalités des accroissements finis pour encadrer une
expression de la forme f (b) − f (a).
Exemple. Pour la fonction f : x → sin x , on a f
(x) = cos x, donc
f
(x)
= |cos x| 1 quel que soit x ∈ R. On en déduit :
pour tous a,b ∈ R,
sin b − sin a
|b − a|.
Dérivée de la bijection réciproque
Soit I un intervalle et f : I → R une fonction dérivable telle que
f
(x) > 0 pour tout x ∈ I . Alors f définit une bijection strictement
croissante de I sur un intervalle J, la bijection réciproque
f
−1
: J → I est dérivable et pour tout b ∈ J, on a
f
−1 (b) =
1
f (a)
, où a ∈ I est le nombre tel que f (a) = b.
Dans un repère orthonormé, les courbes de f et de f
−1
sont symétriques
par rapport à la bissectrice des axes, d’équation y = x.
Soit A un point de la courbe de f et soit A
le point de la courbe de f
−1
,
symétrique de A
. En A et A
, les tangentes ont des pentes inverses,
d’après l’égalité ci-dessus.
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