® Si f est minorée, alors f (x) a une limite finie quand x tend vers
a. Si f n’est pas minorée, alors lim
x→a
= −∞.
On a les résultats analogues pour une fonction décroissante.
Théorème de la bijection. Soit I un intervalle et f : I → R une
fonction continue et strictement monotone. Alors f définit une bijection I → J, où J est un intervalle.
La bijection réciproque f
−1
: J → I est continue et a le même sens
de variation que f.
Si I est ouvert (ou semi-ouvert, ou fermé), alors J aussi.
1.1.4 Fonctions dérivables
Rappelons qu’une fonction f est dérivable en a si le rapport
f (x)− f (a)
x−a
a
une limite finie quand x tend vers a. Dans ce cas, le nombre
lim
x→a
f (x)− f (a)
x−a
= f
(a)
s’appelle le nombre dérivé de f en a. On dit que f est dérivable si f est
dérivable en tout point de son ensemble de définition.
Proposition. Toute fonction dérivable en a est continue en a.
Dérivée et sens de variation. Soit I un intervalle et f : I → R une
fonction dérivable.
® f est constante si et seulement si f
(x) = 0 pour tout x ∈ I .
® Si f
(x) 0 pour tout x ∈ I , alors f est croissante sur I.
® Si f
(x) > 0 sauf pour un nombre fini de valeurs de x, alors f est
strictement croissante sur I.
En changeant le sens des inégalités pour f
(x), on obtient bien sûr les
résultats analogues pour les fonctions décroissantes.
Inégalités des accroissements finis. Soit I un intervalle et
f : I → R une fonction dérivable. Supposons qu’il existe des nombres m et M tels que m f
(x) M pour tout x ∈ I. Si a,b ∈ I sont
tels que a < b, alors on a
m(b−a) f (b)− f (a) M(b−a)
1.1 • Des théorèmes généraux
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