[a n ,b n ], donc il existe c n ∈ [a n ,b n ] tel que f (c n ) > n. On a lim f (c n ) = +∞.
Or lim c n = c et f est continue en c, donc lim f (c n ) = f (c) : c’est une contradiction. Ce qu’on a supposé n’est pas vrai, autrement dit f est majorée.
Il reste à montrer (ce que nous admettons) qu’il y a un majorant plus petit que
tous les autres et que ce majorant est un maximum de la fonction.
J
1.1.3 Fonctions monotones
Définitions : suite et fonction croissante, décroissante
Soit D une partie de R.
® Une fonction f : D → R est croissante si pour tous x,y ∈ D, on a
l’implication x y ⇒ f (x) f (y) .
® Une fonction f : D → R est décroissante si pour tous x,y ∈ D, on
a l’implication x y ⇒ f (x) f (y) .
® Une suite (u n ) est croissante (ou décroissante) si la fonction n → u n
est croissante (ou décroissante).
® On dit qu’une suite ou une fonction est monotone si elle est ou bien
croissante, ou bien décroissante.
Définitions : suite et fonction majorée, minorée, bornée
® Une fonction f : D → R est majorée s’il existe un nombre M
(appelé majorant) tel que, pour tout x ∈ D, on ait f (x) M.
Une fonction f : D → R est minorée s’il existe un nombre m
(appelé minorant) tel que, pour tout x ∈ D, on ait f (x) m.
On définit de même une suite majorée et une suite minorée.
® On dit qu’une suite, ou une fonction, est bornée si elle est majorée et
minorée.
Une fonction f : D → R est bornée si et seulement s’il existe
un nombre K tel que pour tout x ∈ D,
f (x)
K.
Théorème
a) Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.
b) Soit f :]a,b[→ R une fonction croissante (éventuellement a est
le symbole −∞, ou b est le symbole +∞).
® Si f est majorée, alors f (x) a une limite finie quand x tend vers
b. Si f n’est pas majorée, alors lim
x→b
= +∞.
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Chapitre 1 • Suites et fonctions
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Or lim c n = c et f est continue en c, donc lim f (c n ) = f (c) : c’est une contradiction. Ce qu’on a supposé n’est pas vrai, autrement dit f est majorée.
Il reste à montrer (ce que nous admettons) qu’il y a un majorant plus petit que
tous les autres et que ce majorant est un maximum de la fonction.
J
1.1.3 Fonctions monotones
Définitions : suite et fonction croissante, décroissante
Soit D une partie de R.
® Une fonction f : D → R est croissante si pour tous x,y ∈ D, on a
l’implication x y ⇒ f (x) f (y) .
® Une fonction f : D → R est décroissante si pour tous x,y ∈ D, on
a l’implication x y ⇒ f (x) f (y) .
® Une suite (u n ) est croissante (ou décroissante) si la fonction n → u n
est croissante (ou décroissante).
® On dit qu’une suite ou une fonction est monotone si elle est ou bien
croissante, ou bien décroissante.
Définitions : suite et fonction majorée, minorée, bornée
® Une fonction f : D → R est majorée s’il existe un nombre M
(appelé majorant) tel que, pour tout x ∈ D, on ait f (x) M.
Une fonction f : D → R est minorée s’il existe un nombre m
(appelé minorant) tel que, pour tout x ∈ D, on ait f (x) m.
On définit de même une suite majorée et une suite minorée.
® On dit qu’une suite, ou une fonction, est bornée si elle est majorée et
minorée.
Une fonction f : D → R est bornée si et seulement s’il existe
un nombre K tel que pour tout x ∈ D,
f (x)
K.
Théorème
a) Toute suite croissante et majorée est convergente.
Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
Toute suite décroissante et minorée est convergente.
Toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.
b) Soit f :]a,b[→ R une fonction croissante (éventuellement a est
le symbole −∞, ou b est le symbole +∞).
® Si f est majorée, alors f (x) a une limite finie quand x tend vers
b. Si f n’est pas majorée, alors lim
x→b
= +∞.
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Chapitre 1 • Suites et fonctions
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