D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un nombre
c ∈ [1,2] tel que f (c) = 0: ce nombre c est une solution de l’équation
f (x) = 0. Le milieu du segment [1,2] est 3/2. Comme on a
f (1) < 0 et f
3
2
=
7
8
> 0
on en déduit de même que l’équation f (x) = 0 a une solution dans le
segment [1,3/2].
Poursuivons : le milieu du segment [1,3/2] est 5/4 et l’on a
f
5
4
= −
19
64
< 0 et f
3
2
> 0
L’équation f (x) = 0 a donc une solution dans le segment
[5/4,3/2] = [1,25 ; 1,5]. En continuant de cette manière, on obtient
des valeurs de plus en plus précises pour une solution de l’équation.
1.1 • Des théorèmes généraux
3
Courbe de la fonction f : x → x
3 −x−1
1
2
3
x
Théorème de l’extremum. Soit a,b ∈ R et f : [a,b] → R une fonction continue. Alors f a un maximum et un minimum, c’est-à-dire qu’il
existe des nombres u,v ∈ [a,b] tels que
f (u) f (x) f (v) pour tout x ∈ [a,b] .
Principe de la démonstration. On commence par montrer que f est majorée en raisonnant par l’absurde (la définition d’une fonction majorée se trouve
page 4). Supposons f non majorée, c’est-à-dire qu’il y a des valeurs de f aussi
grandes qu’on veut. Soit m le milieu de [a,b]. Il y a au moins un des deux intervalles [a,m]ou [m,b] sur lequel f n’est pas majoréee (sinon elle serait majorée
sur leur réunion [a,b]) : notons I 1 = [a 1 ,b 1 ]cet intervalle. On considère la fonction f sur I 1 et l’on recommence : on coupe I 1 en deux, etc. On obtient ainsi des
intervalles emboîtés I 1 ,I 2 ,. . . de plus en plus petits, donc leurs bornes a n et b n
tendent vers un nombre c ∈ [a,b]. Par construction, f n’est pas majorée sur
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c ∈ [1,2] tel que f (c) = 0: ce nombre c est une solution de l’équation
f (x) = 0. Le milieu du segment [1,2] est 3/2. Comme on a
f (1) < 0 et f
3
2
=
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> 0
on en déduit de même que l’équation f (x) = 0 a une solution dans le
segment [1,3/2].
Poursuivons : le milieu du segment [1,3/2] est 5/4 et l’on a
f
5
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= −
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< 0 et f
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2
> 0
L’équation f (x) = 0 a donc une solution dans le segment
[5/4,3/2] = [1,25 ; 1,5]. En continuant de cette manière, on obtient
des valeurs de plus en plus précises pour une solution de l’équation.
1.1 • Des théorèmes généraux
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Courbe de la fonction f : x → x
3 −x−1
1
2
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x
Théorème de l’extremum. Soit a,b ∈ R et f : [a,b] → R une fonction continue. Alors f a un maximum et un minimum, c’est-à-dire qu’il
existe des nombres u,v ∈ [a,b] tels que
f (u) f (x) f (v) pour tout x ∈ [a,b] .
Principe de la démonstration. On commence par montrer que f est majorée en raisonnant par l’absurde (la définition d’une fonction majorée se trouve
page 4). Supposons f non majorée, c’est-à-dire qu’il y a des valeurs de f aussi
grandes qu’on veut. Soit m le milieu de [a,b]. Il y a au moins un des deux intervalles [a,m]ou [m,b] sur lequel f n’est pas majoréee (sinon elle serait majorée
sur leur réunion [a,b]) : notons I 1 = [a 1 ,b 1 ]cet intervalle. On considère la fonction f sur I 1 et l’on recommence : on coupe I 1 en deux, etc. On obtient ainsi des
intervalles emboîtés I 1 ,I 2 ,. . . de plus en plus petits, donc leurs bornes a n et b n
tendent vers un nombre c ∈ [a,b]. Par construction, f n’est pas majorée sur
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