® On dit que f est continue en a si lim
x→a
f (x) = f (a).
® On dit que f est continue si pour tout a∈D, f est continue en a.
Propriétés des limites
® Si lim
x→a
f (x) = et lim
x→a
g(x) =
, alors
lim
x→a
f (x)+g(x) = +
et lim
x→a
f (x)g(x) =
.
® Si de plus
= / 0, alors lim
x→a
f (x)/g(x) = /
.
® On a les mêmes propriétés pour les limites de suites.
Fonctions continues et limites
a) Toute fonction polynôme est continue sur R.
b) La somme et le produit de deux fonctions continues est continue.
Si f est continue en a et si f (a) = / 0, alors la fonction x →
1
f (x) est
continue en a.
c) Si f et g sont des fonctions continues et si la fonction composée
g ◦ f : x → g
f (x)
est définie, alors g ◦ f est continue.
d) Soit (u n ) une suite et f une fonction telle que la suite
f (u n )
est
définie. Si lim u n = et si f est continue en , alors lim f (u n )= f ().
1.1.2 Propriétés des fonctions continues sur un intervalle
Théorème des valeurs intermédiaires. Soit I un intervalle et
f : I → R une fonction continue. Soit a,b ∈ I. Pour tout nombre k
compris entre f (a) et f (b), il existe au moins un nombre c compris
entre a et b tel que f (c) = k.
Le nombre c est une solution de l’équation f (x) = k. Pour trouver une
valeur approchée de c, on peut pratiquer la « méthode du partage en
deux » qui permet dailleurs de démontrer le théorème.
Méthode du partage en deux. Pratiquons-la sur un exemple en cherchant une solution de l’équation x
3 −x−1 = 0.
Soit f : R → R la fonction définie par f (x) = x
3 −x−1. C’est une
fonction polynôme, donc elle est continue. On a
f (1) = 1−1−1 = −1 < 0 et f (2) = 2
3 −2−1 = 5 > 0
2
Chapitre 1 • Suites et fonctions
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