Puisque t → 1/t définit des bijections ]0,1] → [1,+∞[ et
] − 1,0[→] − ∞,−1[, il suffit d’étudier la courbe sur l’intervalle
] − 1,1] et de compléter le dessin en faisant la symétrie par rapport à la
droite d’équation y = x.
On a x
(t) =
3(1−2t 3 )
(1+t 3 ) 2
et y
(t) =
3t (2−t 3 )
(1+t 3 ) 2
, d’où le tableau :
Solutions
177
t
−1
0
1/
3
√ 2
1
x
(t)
+
+
0
–
y
(t)
–
0
+
+
x(t)
–∞
0
(
3
√ 2)
2
3/2
y(t)
+∞
0
3
√ 2
3/2
Il y a une tangente verticale en M 1/
3
√
2 =
3
√
2
2 ,
3
√
2
.
Au point M 0 = (0,0), la tangente est horizontale.
La tangente en M 1 = (3/2,3/2) est dirigée par le vecteur
x
(1),y
(1)
= (−3/4,3/4) : le point M 1 est sur l’axe de symétrie et la
tangente en M 1 est orthogonale à cet axe.
Étudions la branche infinie quand t tend vers −1 : on a
y(t)
x(t)
= t , lim
t→−1
y(t)
x(t)
= −1
y(t) + x(t) =
3t (t + 1)
t 3 + 1
=
3t
t 2 − t + 1
et lim
t→−1
y(t) + x(t)
= −1
La droite d’équation y = −x − 1 est donc asymptote quand t tend
vers −1.
La figure 1 montre le morceau de courbe correspondant à t ∈ ] − 1,1].
La courbe complète est représentée figure 2. L’axe de symétrie est en
pointillé.
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