Quel que soit t, on a donc X (t) > 0 et X (t)Y (t) =
1
√
2
e
t
1
√
2
e
−t
=
1
2 .
Réciproquement, soit X et Y tels que X > 0 et XY = 1/2 . Posons
t = −ln(
√
2 X). Alors on a X =
e
−t
√
2
et Y =
1
2
1
X
=
1
2
√
2 e
t =
e
t
√
2
.
Les nombres X et Y sont donc les coordonnées de M t dans le repère
O; − → u , − → v
. Cela montre que dans le repère
O; − → u , − → v
, la courbe H
a pour équation (XY = 1/2 et X > 0).
Or la courbe d’équation Y =
1
2X
est une hyperbole (ses asymptotes sont
les axes O X et OY dirigés par − → u et − → v ). La courbe H est donc la branche de cette hyperbole contenue dans le quart de plan X > 0,Y > 0.
8.5 a) Si M : (x,y) est un point de S, alors on a x
3 + y
3 − 3x y = 0 et
donc les équivalences : x = 0 ⇔ (x = 0 et y = 0) ⇔ M = O .
Soit M : (x,y) un point de S différent de O. D’après les équivalences
ci-dessus, on a alors x = / 0 et en posant t = y/x, il vient y = t x.
L’unicité de t est évidente.
En reportant la relation y = t x dans l’équation de S, on obtient
x
3 + y
3 − 3x y = 0 ⇐⇒ x
3 + t
3 x
3 − 3x(t x) = 0
⇐⇒ x
3 (1 + t
3 ) − 3x
2 t = 0
⇐⇒ x(1 + t
3 ) − 3t = 0 , car x = / 0.
Remarquons que l’égalité ci-dessus implique 1 + t
3 = / 0, sinon on
aurait t = −1 et aussi 3t = 0, ce qui est impossible. On en déduit
x =
3t
1 + t 3 et y =
3t
2
1 + t 3
b) Le domaine de définition est D = R\{−1}. Pour tout t ∈ D\{0},
on a
x(1/t) =
3
t
1
1 +
1
t 3
=
3
t
t
3
1 + t 3 = y(t)
et donc aussi y(1/t) = x(t). Ces égalités signifient que les points M t et
M 1/t sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. Comme
le point M 0 = (0,0) est son propre symétrique, la courbe a pour axe de
symétrie la droite d’équation y = x.
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Chapitre 8 • Courbe paramétrée
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