b) (i) Les coordonnées de − → u et de − → v dans le repère
O;
− →
i ,
− →
j
sont
− → u :
1
√
2
,−
1
√
2
et − → v :
1
√
2
,
1
√
2
. Le produit scalaire de − → u et − → v est
− → u · − → v =
1
√
2
×
1
√
2
+
−
1
√
2
×
1
√
2
= 0
donc les vecteurs − → u et − → v sont orthogonaux. De plus, par le théorème
de Pythagore, on a
− → u
2 =
1
√
2
2
+
−
1
√
2
2
=
1
2
+
1
2
= 1 et de même − → v
2 = 1
donc les vecteurs − → u et − → v sont de norme 1.
(ii) On a par définition
−→
O P = x
− →
i + y
− →
j = X − → u + Y − → v , d’où
x
− →
i + y
− →
j =
X
√
2
− →
i −
X
√
2
− →
j +
Y
√
2
− →
i +
Y
√
2
− →
j
=
X
√
2
+
Y
√
2
− →
i +
−
X
√
2
+
Y
√
2
− →
j
On en déduit x =
1
√
2
(X + Y ) et y =
1
√
2
(−X + Y ) et les égalités
demandées.
c) Dans le repère
O; − → u , − → v
, les coordonnées d’un point M t ∈ H sont
X (t) =
1
√
2
x(t) − y(t)
=
1
√
2
ch t − sh t
=
1
√
2
e
−t
Y (t) =
1
√
2
x(t) + y(t)
=
1
√
2
ch t + sh t
=
1
√
2
e
t
Solutions
175
1
x
y
y =
x
y = – x
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