On a
y(t)
x(t)
= t. Quand t tend vers +∞,
y(t)
x(t)
tend vers +∞, donc la courbe
prend la direction Oy sans qu’il y ait de droite asymptote.
On a lim
t→−1
y(t)
x(t) = −1 et lim
t→−1
y(t) + x(t)
= lim
t→−1
e
t = 1/e , donc la
droite d’équation y = −x + (1/e) est asymptote quand t tend vers −1.
Quand t tend vers −∞, le point M t tend vers l’origine. Puisqu’on a
lim
t→−∞
y(t)
x(t) =−∞ , le point M t tend vers l’origine dans la direction de
l’axe Oy, quand t tend vers −∞.
Voici le dessin de la courbe :
174
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
y
1
x
1 e
y
=
–
x
+
1
e
8.4 a) La fonction ch est paire et la fonction sh est impaire. Étudions
donc la courbe seulement sur [0,+∞[ : on complètera le dessin en faisant la symétrie par rapport à Ox.
Les fonctions ch et sh sont croissantes sur [0,+∞[. Le vecteur dérivé
x
(t),y
(t)
= (sh t,ch t) n’est jamais nul car ch t 1 quel que soit t,
donc il n’y a pas de point singulier.
On a
x
(0),y
(0)
= (0,1), donc la tangente au point M 0 = (1,0) est
verticale.
Quand t tend vers +∞, la courbe a une branche infinie. On a
lim
t→+∞
y(t)
x(t)
= lim
t→+∞
th t = 1
et lim
t→+∞
y(t) − x(t)
= lim
t→+∞
(−e
−t ) = 0
donc la droite d’équation y = x est asymptote à la courbe quand t tend
vers +∞. La courbe est toute entière sous cette asymptote, car
y(t) − x(t) < 0 quel que soit t. Voici le dessin de la courbe H :
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