La droite d’équation x = 3/2 est asymptote verticale. Cherchons s’il y
a une asymptote oblique quand t tend vers 0 : on a
y(t)
x(t)
=
(2t−1)(t+1)
2t+1)(t−1)
,
lim
t→0
y(t)
x(t)
= 1 et lim
t→0
y(t) − x(t)
= lim
t→0
2
t 2 − 1
= −2
donc la droite d’équation y = x − 2 est asymptote quand t tend vers 0.
La différence y − (x − 2) =
2t 2
t 2 −1
est négative pour 0 < t < 1, donc
quand t parcourt ]0,1[, le point M t est sous l’asymptote.
Quand t tend vers +∞, le point M t tend vers l’origine (l’origine est un
« point limite »). On a lim
t→+∞
y(t)
x(t)
= 1 : quand t tend vers +∞, M t tend
vers l’origine dans la direction de la droite y = x.
La figure 1 ci-dessous montre la demi-courbe étudiée dans le tableau. La
courbe entière est représentée figure 2 :
Solutions
173
Figure 1
–2
2
8
3
3
y
x
y =
x –
2
Figure 2
–2
2
2
x
y
y =
x –
2
2
3
2
3
8
3
–
c) Le domaine de définition est R \ {−1}. On a
x
(t) =
t
(t + 1) 2 e
t
et y
(t) =
t
2 + t + 1
(t + 1) 2 e
t
donc x
(t) a le signe de t. Puisque t
2 + t + 1 > 0 quel que soit t, y
(t)
est toujours positif. Voici le tableau de variation :
t
–∞
− 1
0
1
+∞
x(t)
0
–∞
+∞
1
e
2
+∞
y(t) 0
+∞
–∞
0
e
2
+∞
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