La courbe a une tangente verticale aux points M π/3 :
3
2 ,
√
3
2
et
M π : (−3,0). Il y a une tangente horizontale au point M 2π/3 :
−
1
2 ,
3
√
3
2
.
Le point M 0 : (1,0) est singulier.
Pour étudier ce point singulier, écrivons les développements limités 0 :
x(t) = 1 + t
2 + o(t
2 ) et y(t) = o(t
2 ) ;
x(t)
y(t)
=
1
0
+ t
2
1
0
+
− − →
o(t
2 )
Au point (1,0), la courbe est donc tangente à l’axe Ox.
La figure 1 ci-dessous montre la demi-courbe étudiée dans le tableau. La
courbe entière est représentée figure 2 : il y a un rebroussement en (1,0).
172
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
Figure 1
2
–3
1
y
x
Figure 2
–2
0
2
–3
1
y
x
b) Le domaine de définition est D = R \ {−1,0,1}. On a
x(−t) = −y(t) et y(−t) = −x(t). Or le symétrique d’un point
M : (a,b) par rapport à la droite y = −x est le point de coordonnées
(−b,−a). Cela montre que pour tout t ∈ D, les points M t et M −t sont
symétriques par rapport à cette droite : il suffit d’étudier la courbe sur
[0,+∞[ et de compléter le dessin par symétrie.
Les fonctions x(t) et y(t) sont décroissantes sur ]0,1[ et sur ]1,+∞[,
d’où le tableau de variation :
t
0
1/2
1
+∞
x(t)
+∞
8
3
3
2
0
y(t)
+∞
0
–∞
+∞
0
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