8.3 a) Les fonctions x(t) et y(t) sont périodiques de période 2π. On restreint donc l’étude à [−π,π]. Puisque x(t) est paire et y(t) impaire, étudions la courbe seulement sur [0,π] ; on complètera le dessin en faisant
la symétrie par rapport à Ox. Les dérivées de x(t) et y(t) sont
x
(t) = −2 sin t + 2 sin (2t) = 2(sin t)(−1 + 2 cos t)
y
(t) = 2 cos t − 2 cos (2t) = 2 cos t − 2
2( cos t)
2 − 1
= 2
−2( cos t)
2 + cos t + 1
• Pour tout t ∈ ]0,π[, on a sin t > 0 ; de plus,
−1 + 2 cos t > 0 si 0 t < π/3 et −1 + 2 cos t < 0 si π/3 < t π.
• Les racines du polynôme −2X
2 + X + 1 sont −1/2 et 1.
Si 0 < t < 2π/3, alors cos t > −1/2 , donc y
(t) > 0.
Si 2π/3 < t π, alors cos t < −1/2 , donc y
(t) < 0.
On en déduit les signes de x
(t) et de y
(t), puis le tableau de variation :
Solutions
171
Figure 1
x
y
M 0
e 1
e 2
Figure 2
x
M
y
1
1
1
e 2
e 1
Figure 3
x
y
e 1
e 2
t
0
π/3
2 π/3
π
x
(t)
0
+
0
–
–
0
y
(t)
0
+
+
0
–
x(t)
1
3
2
−
1
2
−3
y(t)
0
√ 3
2
3
√ 3
2
0
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