8.2 a) On a les développements limités en 0 :
x(t) = t
2 + o(t
4 )
y(t) = 1 −
1
2
t
2 +
1
24
t
4 + o(t
4 )
x(t)
y(t)
=
0
1
+ t
2
1
−1/2
+ t
4
0
1/24
+
− − →
o(t
4 )
Le point M 0 = (0,1) est un point de rebroussement ; la tangente est dirigée par le vecteur − → e 1 = (1,−1/2) et, au voisinage de M 0 , les deux
branches de la courbe sont dans le quart de plan limité par (M 0 , − → e 1 ) et
(M 0 , − → e 2 ) (figure 1).
b) En posant t = 1+u, on a les développements limités :
x(1 + u) = 1 +
1
2
u
2 −
1
2
u
3 + o(u
3 )
y(1 + u) = 1 − u
2 + 2u
3 + o(u
3 )
x(1 + u)
y(1 + u)
=
1
1
+ u
2
1/2
−1
+ u
3
−1/2
2
+
−−→
o(u
3 )
Au point M 1 = (1,1), il y a un rebroussement ; la tangente est dirigée
par le vecteur − → e 1 = (1/2,−1) et les deux branches de la courbe sont de
part et d’autre de la tangente (figure 2).
c) On a les développements limités :
x(t) = −2t
3 + 2t
4 +
1
2
t
5 + o(t
5 )
y(t) = 2t
3 − 2t
4 +
8
3
t
5 + o(t
5 )
x(t)
y(t)
= (t
3 − t
4 )
−2
2
+ t
5
1/2
8/3
+
− − →
o(t
5 )
x(t)
y(t)
=
t
3 + o(t
3 )
−2
2
+ t
5
1/2
8/3
+
− − →
o(t
5 )
Au point M 0 = (0,0), la tangente est dirigée par − → e 1 = (−2,2). Pour t
assez proche de 0, les deux branches sont dans des quart de plan opposés en M 0 : il n’y a pas rebroussement (figure 3).
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Chapitre 8 • Courbe paramétrée
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