– De même, au point M −
√
3 , le vecteur dérivé est (1−2
√
3,6) et la tangente a pour équation 6x − (1−2
√
3)y − 6(3−
√
3) = 0 .
c) Soit t et t
tels que t = / t
. On a
M t = M t ⇔
t + t
2 = t
+ t
2
t
3 − 3t = t
3 − 3t
⇔
t − t
= t
2 − t
2
3(t − t
) = t
3 − t
3
Puisque t = / t
, on peut simplifier par t
−t et il vient
M t = M t ⇔
−1 = t + t
3 = t
2 + tt
+ t
2
Puisque t
2 +t
2 = (t+t
)
2 − 2tt
, on obtient
M t = M t ⇔
−1 = t + t
3 = (−1)
2 −2tt
+ tt
⇔
t+t
= −1
tt
= −2
On sait que si deux nombres ont pour somme s et pour produit p, ce
sont les racines du polynôme X
2 − s X + p. Ainsi t et t
sont les racines de l’équation X
2 + X − 2 = 0 , c’est-à-dire les nombres 1et −2.
Les
coordonnées
du
point
double
A
sont
donc
x(1),y(1)
=
x(−2),y(−2)
= (2,−2) .
Au point A, il y a deux tangentes : l’une est dirigée par le vecteur
x
(1),y
(1)
= (3,0) et a pour équation y = −2 ; l’autre tangente en
A est dirigée par le vecteur
x
(−2),y
(−2)
= (−3,9) et a pour équation y+2 = −3(x−2).
d) La courbe n’a aucune asymptote. Voici le dessin :
Solutions
169
–4
–2
0
2
4
2
4
6
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