b) On considère la courbe paramétrée définie par
x(t) =
3t
1+t 3 , y(t) =
3t
2
1+t 3 .
Calculer x(1/t) et y(1/t) pour t ∈ R\{0,−1} . En déduire que la droite
d’équation y = x est un axe de symétrie de la courbe. Etudier la courbe.
c) Dessiner la courbe S.
SOLUTIONS
8.1 a) Le domaine de définition est R. On a x
(t) = 1+2t et
y
(t) = 3(t
2 −1), d’où le tableau de variations de la courbe :
168
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
t
−∞
– 1
– 1/2
0
1
+∞
x
(t)
–
–
0
+
+
+
y
(t)
+
0
–
–
–
0
+
x(t)
+∞
0
2 +∞
– 1/4
0
y(t)
−∞
2 11/8
0
– 2
+∞
Il n’y a pas de point singulier. La tangente est horizontale aux points
M −1 : (0,2) et M 1 : (2,−2). La tangente est verticale au point
M −1/2 : (−1/4,11/8) .
b) Les points d’intersection de la courbe avec l’axe Ox sont donnés
par y(t) = t (t
2 −3) = 0 : on trouve les points M 0 : (0,0), M √
3 :
(3+
√
3,0) et M −
√
3 : (3−
√
3,0) .
– En (0,0), le vecteur dérivé est
x
(0),y
(0)
= (1,−3), donc la tangente a pour équation y = −3x.
– Au point M √
3 , le vecteur dérivé est (1+2
√
3,6), donc la tangente a
pour équation
x − (3+
√
3) 1+2
√
3
y − 0
6
= 0, c’est-à-dire
6x − (1+2
√
3)y − 6(3+
√
3) = 0 .
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