8.2 Dessiner l’allure locale des courbes suivantes au voisinage du point
dont on indique le paramètre.
x(t) =
t
2
1+t 3 , y(t) = cos t
en t = 0.
x(t) =
t
2 +1
2t
, y(t) =
2t−1
t 2
en t = 1.
x(t) = 2t
4 −t
3 −t ln(1+t
2 ) , y(t) = t
2
ln(1+2t) en t = 0.
8.3 Étudier et dessiner les courbes paramétrées définies par :
a) x(t) = 2 cos t − cos (2t) , y(t) = 2 sin t − sin (2t)
b) x(t) =
1
t+1
+
1
t
, y(t) =
1
t−1
+
1
t
(montrez que les points M t et M −t sont toujours symétriques par rapport
à la droite y = −x.)
c) x(t) =
e
t
t+1
, y(t) =
t e
t
t+1
8.4 On considère la courbe paramétrée définie dans le repère orthonormé
O;
− →
i ,
− →
j
par : x(t) = ch t, y(t) = sh t. (Les fonctions hyperboliques sont étudiées page 12.)
Notons H l’ensemble des points de la courbe.
a) Étudier la courbe et dessiner H.
b) On pose − → u =
1
√
2
− →
i −
− →
j
et − → v =
1
√
2
− →
i +
− →
j
.
(i) Montrer que
O; − → u , − → v
est un repère orthonormé.
(ii) Soit P un point du plan, (x,y) les coordonnées de P dans le repère
O;
− →
i ,
− →
j
et (X,Y ) les coordonnées de P dans le repère
O; − → u , − → v
.
Montrer que l’on a
√
2 X = x−y et
√
2 Y = x+y.
c) Montrer que dans le repère
O; − → u , − → v
, la courbe H a pour équation
XY = 1/2 , X > 0 . Comment s’appelle cette courbe ?
8.5 On veut étudier la courbe S d’équation x
3 + y
3 − 3x y = 0.
a) Montrer que pour tout point M : (x,y) appartenant à S \ {O}, il
existe un unique nombre t ∈ R tel que y = t x. Calculer x et y en fonction de t.
Exercices
167
a)
b)
c)
9782100545636-Liret-C08.qxd 31/03/10 10:57 Page 167