• Pour tout t ∈ R, les coordonnées du vecteur
−−−−−→
M t M t+2π sont
−−−−−→
M t M t+2π :
cos (t+2π),sin (t+2π),t+2π
−
cos t,sin t,t
= (0,0,2π)
donc
−−−−−→
M t M t+2π = 2π
− →
k quel que soit t.
Les points M t et M t+2π sont ainsi sur une même génératrice (droite verticale) du cylindre, le point M t+2π est au dessus de M t et la distance entre
M t et M t+2π est toujours 2π. Entre ces deux points, la courbe E a fait un
tour sur le cylindre.
On voit ainsi que la courbe E est une hélice circulaire d’axe Oz.
La translation de vecteur 2π
− →
k amène E sur elle-même.
166
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
EXERCICES
8.1 a) Étudier la courbe paramétrée définie par
x(t) = t + t
2 , y(t) = t
3 − 3t
En particulier, touver les points où la tangente est horizontale et les
points où la tangente est verticale.
b) La courbe coupe l’axe Ox en trois points : calculer les coordonnées de
ces points. Quelle est l’équation de la tangente en chacun de ces points ?
c) Trouver tous les nombres t et t
tels que t = / t
et M t = M t . En
déduire que la courbe se recoupe elle-même en un unique point A (on dit
que A est un point double). Quelles sont les coordonnées de A et les pentes des tangentes en A ?
d) Dessiner la courbe.
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