8.6 UN EXEMPLE DE COURBE PARAMÉTRÉE DANS L’ESPACE
Repérons les points de l’espace par leurs coordonnées dans un repère
orthonormé (O;
− →
i ,
− →
j ,
− →
k ).
Soit f : R → R
3
la fonction définie par f (t) =
cos t,sin t,t
.
Quand t parcourt R, le point M t de coordonnées
x(t) = cos t , y(t) = sin t , z(t) = t
décrit une courbe paramétrée dans l’espace. Notons-la E.
• Le projeté de M t sur le plan x Oy a pour coordonnées (cos t,sin t) dans
ce plan, donc il décrit le cercle (C) de rayon 1 centré à l’origine :
la projection de la courbe sur le plan
x Oy est le cercle trigonométrique (C).
Cela veut dire que la courbe E est tracée sur le cylindre d’axe Oz et
de base (C).
• Le vecteur dérivé en t est f
(t) =
−sin t, cos t,1
. On a f
(t) = / 0, et
en raisonnant comme pour une courbe plane, on en déduit qu’au point
M t , la courbe a une tangente de vecteur directeur f
(t).
• Le produit scalaire f
(t).
− →
k est (−sin t) × 0 + (cos t) × 0 + 1 × 1
= 1. L’angle des vecteurs f
(t) et
− →
k a donc pour mesure θ tel que
1 = f
(t).
− →
k = f
(t)
− →
k cos θ
Or f
(t) =
(−sin t) 2 +(cos t) 2 + 1 2 =
√
2 et
− →
k = 1, donc
cos θ = 1/
√
2 = cos (π/4) . En tout point de la courbe E, la tangente
fait donc l’angle π/4 avec Oz.
8.6 • Un exemple de courbe paramétrée dans l’espace
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M 0
f’(0)
x
y
z
M 2π
k
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