Exemple. Terminons l’étude de la courbe définie par
x(t) = t +
1
t
,
y(t) = t +
4
t+1
(exemple page 152)
1) Cherchons les asymptotes horizontales ou verticales.
• On a lim
t→−1
x(t) = −2 et lim
t→−1
y(t) = ∞ : la droite d’équation x=−2
est donc asymptote verticale.
• lim
t→0
x(t) = ∞ et lim
t→0
y(t) = 4 : la droite d’équation y = 4 est donc
asymptote horizontale.
2) Cherchons les asymptotes obliques.
Quand t tend vers ±∞, x(t) et y(t) tendent vers ±∞. On a
lim
t→±∞
y(t)
x(t)
= lim
t→±∞
t (t+1)+4
t+1
t
t 2 +1
= 1
lim
t→±∞
y(t)−1·x(t)
= lim
t→±∞
4
t+1
−
1
t
= 0
La droite d’équation y = x est donc asymptote à la courbe quand t tend
vers +∞ et quand t tend vers −∞.
On a y(t) − x(t) =
3t−1
t (t+1)
> 0 pour tout t > 1/3 et y(t) − x(t) < 0 pour
tout t < −1 : la courbe est donc au dessus de l’asymptote en +∞, et en
dessous en −∞.
Remarquons que pour t = 1/3, on a y(t) = x(t) : la courbe coupe donc
l’asymptote au point M 1/3 : (10/3,10/3) .
3) Dessinons la courbe en tenant compte du tableau de variation (page
153) et des résultats obtenus dans l’exemple page 155 et dans l’exemple 4
page 160.
8.4 • Asymptotes
163
–5
4
–10/3
2
3
–2
x
y
y =
x
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