Asympote oblique
Définition. Supposons que x(t) et y(t) tendent vers l’infini quand t
tend vers α. S’il existe des nombres a = / 0 et b tels que
lim
t→α
y(t) − (ax(t) + b)
= 0 ,
alors la droite d’équation y = ax + b est une asymptote oblique à la
courbe f.
Supposons que la droite d’équation y = ax + b est asymptote oblique à
la courbe f quand t tend vers α. Alors
y(x)
x(t) − a
x(t) = y(t) − ax(t)
tend vers b quand t tend vers α ; comme x(t) tend vers l’infini, on en
déduit lim
t→α
y(x)
x(t) − a
= 0, et par suite a = lim
t→α
y(x)
x(t) .
D’où la méthode pour chercher une asymptote oblique :
162
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
Recherche d’une asymptote oblique
On considère les cas où x(t) et y(t) tendent tous deux vers l’infini,
disons quand t tend vers α.
• On calcule la limite de
y(t)
x(t)
quand t tend vers α.
• Ensuite, si lim
t→α
y(t)
x(t)
= a, où a ∈ R,
on cherche la limite de y(t)−ax(t) quand t tend vers α :
si lim
t→α
y(t)−ax(t)
= b et b ∈ R, alors la droite d’équation y = ax + b
est asymptote à la courbe f.
Position de la courbe par rapport à une asymptote
La position de la courbe par rapport à l’asymptote d’équation
y = ax + b s’obtient en étudiant le signe de y(t)−
ax(t)+b
:
si y(t)−
ax(t)+b
est positive, le point M t est au dessus
de l’asymptote ; sinon, il est en dessous.
En général, on se contente de chercher le signe pour t assez proche de α,
au moyen d’un développement limité.
9782100545636-Liret-C08.qxd 31/03/10 10:57 Page 162