Les vecteurs − → e 1 et − → e 2 sont indépendants. Comme dans le premier cas
page 157, on en déduit l’allure de la courbe au voisinage du point M 1 : c’est
un point de rebroussement et la tangente est dirigée par − → e 1 .
8.4 • Asymptotes
161
M 1
y
x
2
3
t > 1
t < 1
On vérifie que cette allure est compatible avec les variations de M t pour t
proche de 1 (tableau page 153).
8.4 ASYMPTOTES
Soit f : D → R
2
une courbe paramétrée et x(t),y(t) ses coordonnées.
Désignons par α un élément de D, ou bien une borne (éventuellement
infinie) de l’un des intervalles inclus dans D.
On dit que la courbe a une branche infinie quand t tend vers α si l’une
au moins des coordonnées x(t) ou y(t) tend vers l’infini quant t tend
vers α.
Dans ce cas, formons le rapport
y(t)
x(t)
, pente de la droite (O M t ).
® Si lim
t→α
y(t)
x(t)
= ±∞, alors quand t tend vers α, la courbe prend globalement la direction de l’axe des ordonnées.
® Si lim
t→α
y(t)
x(t)
= a et a ∈ R, alors quand t tend vers α, la courbe prend
globalement une direction de pente a.
Asympote horizontale ou verticale
Définition
® Si lim
t→α
x(t) = ±∞ et lim
t→α
y(t) = , où ∈ R, alors la droite
d’équation y = est une asymptote horizontale à la courbe f.
® Si lim
t→α
x(t) = , où ∈ R, et si lim
t→α
y(t) = ±∞ , alors la droite
d’équation x = est une asymptote verticale à la courbe f.
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