• Pour tout t < 0 assez petit, on a t
3 + o(t
4 ) < 0 et t
4 + o(t
4 ) > 0 , donc
M t est dans le quart de plan limité par les demi-droites (M 0 ;
−→
−e 1 ) et
(M 0 ; − → e 2 ).
Voici l’allure de la courbe en t = 0 : le point M 0 est singulier, mais ce n’est
pas un point de rebroussement.
160
Chapitre 8 • Courbe paramétrée
x
y
t > 0
t < 0
M 0
1
e 2
e 1
Exemple 4. Poursuivons l’étude de la courbe paramétrée
x(t) = t +
1
t
, y(t) = 1 +
4
t+1
(exemple page 152).
On a x
(1) = y
(1) = 0, donc le point M 1 : (2,3) est un point singulier.
En posant t = 1+u, il vient
x(1+u) = 1+u +
1
1+u
, y(1+u) = 1+u +
4
2+u
et les développements limités
x(1+u) = 1 + u +
1 − u + u
2 − u
3 + o(u
3 )
= 2 + u
2 − u
3 + o(u
3 )
y(1+u) = 1 + u + 2
1
1+
u
2
= 1 + u + 2
1 −
u
2
+
u
2
2
−
d
u
2
3
+ o(u
3 )
= 3 +
1
2
u
2 −
1
4
u
3 + o(u
3 )
Ecrivons ces développements limités sous la forme vectorielle :
x(1+u) − 2
y(1+u) − 3
= u
2
1
1/2
+ u
3
−1
−1/4
+
o 1 (u
3 )
o 2 (u
3 )
− −−−− →
M 1 M 1+u = u
2 − → e 1 + u
3 − → e 2 +
−−→
o(u
3 )
où l’on a posé
− → e 1 =
− →
i +
1
2
− →
j et − → e 2 = −
− →
i −
1
4
− →
j
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